Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=loga（x+1）+loga（3﹣x）（a＞0且a≠1），且f（1）=2
（1）求a的值及f（x）的定義域；
（2）若不等式f（x）≤c的恒成立，求實數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（1）=loga2+loga2=2，解得a=2．

∴f（x）=log2（x+1）+log2（3﹣x），

由 ，解得﹣1＜x＜3，

可得函數(shù)f（x）的定義域為：（﹣1，3）

（2）解：由（1）可知：f（x）=log2（x+1）+log2（3﹣x）=log2（x+1）（3﹣x）= = ，

可知：當(dāng)x=1時，函數(shù)f（x）取得最大值，f（1）=log24=2．

由不等式f（x）≤c的恒成立，∴c≥2．

∴實數(shù)c的取值范圍是[2，+∞）

【解析】（1）由f（1）=loga2+loga2=2，解得a=2．可得f（x）=log2（x+1）+log2（3﹣x），由 ，可得函數(shù)f（x）的定義域．（2）由（1）可知：f（x）=log2（x+1）+log2（3﹣x）=log2（x+1）（3﹣x）= ，利用二次函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)(①加法：②減法：③數(shù)乘：④⑤)．