【題目】已知函數(shù)f(x)=ax﹣lnx﹣a(a∈R).
(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(2)若a∈(0,+∞),x∈(1,+∞),證明:f(x)<axlnx.

【答案】
(1)解:f′(x)=a﹣ = ,

當(dāng)a≤0時(shí),ax﹣1<0,從而f'(x)<0,函數(shù)f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞減;

當(dāng)a>0時(shí),若0<x< ,則ax﹣1<0,從而f'(x)<0,

若x> ,則ax﹣1>0,從而f'(x)>0,

函數(shù)在(0, )單調(diào)遞減,在( ,+∞)單調(diào)遞增


(2)解:令g(x)=f(x)﹣axlnx,a∈(0,+∞),x∈(1,+∞),

則g′(x)=﹣ ﹣alnx,g″(x)= ,

令g″(x)=0,解得:x= ,

≤1即a≥1時(shí),g″(x)<0,g′(x)在(1,+∞)遞減,

g′(x)<g′(1)=﹣1<0,故g(x)在(1,+∞)遞減,

g(x)<g(1)=0,成立;

>1即0<a<1時(shí),

令g″(x)>0,解得:1<x<

令g″(x)<0,解得:x>

故g′(x)在(1, )遞增,在( ,+∞)遞減,

∴g′(x)<g′( )=2lna﹣a+1,

令h(a)=2lna﹣a+1,(0<a<1),

則h′(a)= >0,h(a)在(0,1)遞增,

故h(a)<h(1)=0,

故g′(x)<0,g(x)在(1,+∞)遞減,

g(x)<g(1)=0,成立;

綜上,a∈(0,+∞),x∈(1,+∞),f(x)<axlnx


【解析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過(guò)討論a的范圍,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;(2)令g(x)=f(x)﹣axlnx,a∈(0,+∞),x∈(1,+∞),求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過(guò)討論a的范圍,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性證明即可.
【考點(diǎn)精析】利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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