【題目】已知函數(shù).
(1)若函數(shù)在R上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)求所有的實(shí)數(shù)a,使得對(duì)任意時(shí),函數(shù)的圖象恒在函數(shù)圖象的下方;
(3)若存在,使得關(guān)于x的方程有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.
【答案】(1)(2)(3)
【解析】
(1)將函數(shù)寫成分段函數(shù)的性質(zhì),根據(jù)分段函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù),即可求得參數(shù)的范圍;
(2)根據(jù)題意,分離參數(shù),將問題轉(zhuǎn)化求解函數(shù)在區(qū)間上最值的問題,即可求得;
(3)將方程根的個(gè)數(shù)的問題,轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題,求出函數(shù)的值域,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可求得.
(1)∵函數(shù).
由于在R上是連續(xù)的增函數(shù),
所以只要當(dāng)時(shí)為增函數(shù)且當(dāng)時(shí)也為增函數(shù);
即,解得,則a的范圍為.
(2)由題意得對(duì)任意的實(shí)數(shù),恒成立,
即,當(dāng)恒成立,
即,
∴,
∴,
故且在上恒成立,
即在時(shí),只要的最大值且的最小值即可,
而當(dāng)時(shí),為增函數(shù),;
當(dāng)時(shí),為增函數(shù),,
∴.
所以滿足條件的所有.
(3)由題意得,關(guān)于x的方程有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;
即與有三個(gè)不同的交點(diǎn);
①當(dāng)時(shí),由(1)知,在R上是增函數(shù),
則關(guān)于x的方程不可能有三個(gè)不等的實(shí)數(shù)根;
②當(dāng)時(shí),由.
當(dāng)時(shí),∵,
∴對(duì)稱軸,
則在為增函數(shù);
此時(shí)的值域?yàn)?/span>,
當(dāng)時(shí),對(duì)稱軸,
∵,∴,
∴對(duì)稱軸,
則在為增函數(shù),此時(shí)的值域?yàn)?/span>,
在為減函數(shù),此時(shí)的值域?yàn)?/span>;
綜上所述,若存在,使與有三個(gè)不同的交點(diǎn),
則,
即存在,使得即可,
令,
只要使即可,而在上是增函數(shù),
.
故可得.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,函數(shù),函數(shù).
(1)當(dāng)函數(shù)圖象與軸相切時(shí),求實(shí)數(shù)的值;
(2)若函數(shù)對(duì)恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)當(dāng)時(shí),討論函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩位同學(xué)參加詩詞大賽,各答3道題,每人答對(duì)每道題的概率均為,且各人是否答對(duì)每道題互不影響.
(Ⅰ)用表示甲同學(xué)答對(duì)題目的個(gè)數(shù),求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(Ⅱ)設(shè)為事件“甲比乙答對(duì)題目數(shù)恰好多2”,求事件發(fā)生的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校實(shí)行選科走班制度,張毅同學(xué)的選擇是物理、生物、政治這三科,且物理在A層班級(jí),生物在B層班級(jí),該校周一上午課程安排如表所示,張毅選擇三個(gè)科目的課各上一節(jié),另外一節(jié)上自習(xí),則他不同的選課方法有( )
A.8種B.10種C.12種D.14種
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,某園林單位準(zhǔn)備綠化一塊直徑為BC的半圓形空地,外的地方種草,的內(nèi)接正方形PQRS為一水池,其余的地方種花.若,,設(shè)的面積為,正方形PQRS的面積為.
(1)用a,表示和;
(2)當(dāng)a為定值,變化時(shí),求的最小值,及此時(shí)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)在處取得極值.
(Ⅰ)求函數(shù)的解析式;
(Ⅱ)求證:對(duì)于區(qū)間上任意兩個(gè)自變量的值,都有;
(Ⅲ)若過點(diǎn)可作曲線的三條切線,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知公差不為零的等差數(shù)列{an)滿足a1=5,且a3,a6,a11成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn=an·3n-1,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,某隧道的剖面圖是由半圓及矩形組成,交通部門擬在隧道頂部安裝通風(fēng)設(shè)備(視作點(diǎn)),為了固定該設(shè)備,計(jì)劃除從隧道最高點(diǎn)處使用鋼管垂直向下吊裝以外,再在兩側(cè)自兩點(diǎn)分別使用鋼管支撐.已知道路寬,設(shè)備要求安裝在半圓內(nèi)部,所使用的鋼管總長度為.
(1)①設(shè),將表示為關(guān)于的函數(shù);
②設(shè),將表示為關(guān)于的函數(shù);
(2)請(qǐng)選用(1)中的一個(gè)函數(shù)關(guān)系式,說明如何設(shè)計(jì),所用的鋼管材料最省?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】魚卷是泉州十大名小吃之一,不但本地人喜歡,而且深受外來游客的贊賞.小張從事魚卷生產(chǎn)和批發(fā)多年,有著不少來自零售商和酒店的客戶當(dāng)?shù)氐牧?xí)俗是農(nóng)歷正月不生產(chǎn)魚卷,客戶正月所需要的魚卷都會(huì)在上一年農(nóng)歷十二月底進(jìn)行一次性采購小張把去年年底采購魚卷的數(shù)量x(單位:箱)在的客戶稱為“熟客”,并把他們?nèi)ツ瓴少彽臄?shù)量制成下表:
采購數(shù)x |
| ||||
客戶數(shù) | 10 | 10 | 5 | 20 | 5 |
(1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)作出頻率分布直方圖,并估計(jì)采購數(shù)在168箱以上(含168箱)的“熟客”人數(shù);
(2)若去年年底“熟客”們采購的魚卷數(shù)量占小張去年年底總的銷售量的,估算小張去年年底總的銷售量(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表);
(3)由于魚卷受到游客們的青睞,小張做了一份市場(chǎng)調(diào)查,決定今年年底是否在網(wǎng)上出售魚卷,若不在網(wǎng)上出售魚卷,則按去年的價(jià)格出售,每箱利潤為20元,預(yù)計(jì)銷售量與去年持平;若在網(wǎng)上出售魚卷,則需把每箱售價(jià)下調(diào)2至5元,且每下調(diào)m元()銷售量可增加1000m箱,求小張今年年底收入Y(單位:元)的最大值.
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