Question

【題目】已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為， 若橢圓上一點(diǎn)滿(mǎn)足，且橢圓過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)．

（1）求橢圓的方程；

（2）若點(diǎn)是點(diǎn)在軸上的垂足，延長(zhǎng)交橢圓于，求證： 三點(diǎn)共線(xiàn)．

Answer 1

【答案】(1) ;(2)見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）由橢圓定義可得，再通過(guò)點(diǎn)在橢圓上求得，進(jìn)而得橢圓方程；

（2）由題知直線(xiàn)的斜率必存在，設(shè)的方程為，點(diǎn)，直線(xiàn)與橢圓聯(lián)立得，由題可得直線(xiàn)方程為，由化簡(jiǎn)直線(xiàn)方程為，令，可得直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，進(jìn)而得證.

試題解析：

（1）依題意， ，故，將代入中，

解得，故橢圓；

（2）由題知直線(xiàn)的斜率必存在，設(shè)的方程為，

點(diǎn)，聯(lián)立得，

即，

由題可得直線(xiàn)方程為，

又∵，

∴直線(xiàn)方程為，

令，整理得

，即直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，

又∵橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為， ∴三點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上．