【題目】已知點在橢圓上，且橢圓的離心率為.

（1）求橢圓的方程；

（2）若為橢圓的右頂點，點是橢圓上不同的兩點（均異于）且滿足直線與斜率之積為.試判斷直線是否過定點，若是，求出定點坐標(biāo)，若不是，說明理由.

【答案】(1) ；(2)答案見解析.

【解析】試題分析：（1）由點在橢圓上，且橢圓的離心率為，結(jié)合性質(zhì) ，列出關(guān)于 、 、的方程組，求出 、 、，即可得橢圓的方程；（2）由題意，直線的斜率存在，可設(shè)直線的方程為， ， ，聯(lián)立，得，根據(jù)韋達定理、斜率公式及直線與斜率之積為，可得，解得或，將以上結(jié)論代入直線方程即可得結(jié)果.

試題解析：（1）可知離心率，故有，

又有點在橢圓上，代入得，

解得， ，

故橢圓的方程為.

（2）由題意，直線的斜率存在，可設(shè)直線的方程為

， ， ，

聯(lián)立得.

∴， .

∵直線與斜率之積為.

而點，∴.

∴.

化簡得，

∴，

化簡得，解得或，

當(dāng)時，直線的方程為直線與斜率之積為，過定點.

代入判別式大于零中，解得.

當(dāng)時，直線的方程為，過定點，不符合題意.

故直線過定點.

練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1： (t為參數(shù)，t≠0)，其中0≤α＜π.在以O為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：ρ＝2sin θ，C3：ρ＝2cos θ.

(1)求C2與C3交點的直角坐標(biāo)；

(2)若C1與C2相交于點A，C1與C3相交于點B，求|AB|的最大值．

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（1）求曲線在點處的切線方程；

（2）求的單調(diào)區(qū)間；

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【題目】已知函數(shù)．

（1）求曲線在點處的切線方程；

（2）求證：存在唯一的，使得曲線在點處的切線的斜率為；

（3）比較與的大小，并加以證明．

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【題目】如圖，直角梯形中， ， ， ，等腰梯形中， ， ， ，且平面平面.

（1）求證： 平面；

（2）若與平面所成角為，求二面角的余弦值.

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（Ⅱ）過的直線與點的軌跡交于兩點，過作與垂直的直線與點的軌跡交于兩點，求證： 為定值.

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【題目】如圖所示的自動通風(fēng)設(shè)施.該設(shè)施的下部是等腰梯形，其中為2米，梯形的高為1米， 為3米，上部是個半圓，固定點為的中點. 是由電腦控制可以上下滑動的伸縮橫桿（橫桿面積可忽略不計），且滑動過程中始終保持和平行.當(dāng)位于下方和上方時，通風(fēng)窗的形狀均為矩形（陰影部分均不通風(fēng)）.

（1）設(shè)與之間的距離為（且）米，試將通風(fēng)窗的通風(fēng)面積（平方米）表示成關(guān)于的函數(shù)；

（2）當(dāng)與之間的距離為多少米時，通風(fēng)窗的通風(fēng)面積取得最大值？

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【題目】“累積凈化量（）”是空氣凈化器質(zhì)量的一個重要衡量指標(biāo)，它是指空氣凈化器從開始使用到凈化效率為時對顆粒物的累積凈化量，以克表示.根據(jù)《空氣凈化器》國家標(biāo)準(zhǔn)，對空氣凈化器的累計凈化量（）有如下等級劃分：

累積凈化量（克）

12以上

等級

為了了解一批空氣凈化器（共2000臺）的質(zhì)量，隨機抽取臺機器作為樣本進行估計，已知這臺機器的累積凈化量都分布在區(qū)間中.按照均勻分組，其中累積凈化量在的所有數(shù)據(jù)有： 和，并繪制了如下頻率分布直方圖：

（1）求的值及頻率分布直方圖中的值；

（2）以樣本估計總體，試估計這批空氣凈化器（共2000臺）中等級為的空氣凈化器有多少臺？

（3）從累積凈化量在的樣本中隨機抽取2臺，求恰好有1臺等級為的概率.

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【題目】已知橢圓的左右焦點分別為， 若橢圓上一點滿足，且橢圓過點，過點的直線與橢圓交于兩點．

（1）求橢圓的方程；

（2）若點是點在軸上的垂足，延長交橢圓于，求證： 三點共線．

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