Question

【題目】設數列滿足，，，.s

（1）證明：數列是等差數列，并求數列的通項；

（2）求數列的通項，并求數列的前項和；

（3）若，且是單調遞增數列，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析，；（2），；

（3）.

【解析】

（1）利用等差數列的定義可證明出數列是等差數列，并確定該數列的首項和公差，即可得出數列的通項；

（2）利用累加法求出數列的通項，然后利用裂項法求出數列的前項和；

（3）求出，然后分為正奇數和正偶數兩種情況分類討論，結合可得出實數的取值范圍.

（1），等式兩邊同時減去得，

，且，

所以，數列是以為首項，以為公差的等差數列，

因此，；

（2），

，，

；

（3）.

當為正奇數時，，，

由，得，可得，

由于數列為單調遞減數列，；

當為正偶數時，，，

由，得，可得，

由于數列為單調遞增數列，.

因此，實數的取值范圍是.