Question

【題目】如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，，M是線段EF的中點，二面角的大小為60°.

（1）求證：平面BDE；

（2）試在線段AC上找一點P，使得PF與CD所成的角是60°.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）P為AC的中點

【解析】

(1）要證平面，直線證明直線平行平面內的直線即可；
(2) 以 為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設出線段上點的坐標，由與所成的角是60°,得到向量夾角的余弦值為 , 由此可求得點的坐標

（1）證明：設，連接NE，

，，M是線段EF的中點，N是線段AC的中點，

，，

四邊形AMEN為平行四邊形，

，

又平面BDE，平面BDE，

平面BDE.

（2）如圖，以 為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

設，

則，，，，

，，，

，，，

平面ADF，

為平面DAF的法向量，

設平面BDF的法向量為，

，即，

令，則平面BDF的一個法向量為

設二面角的大小為θ，

則，

解得，

設，，，

則，解得或（舍去），

所以當點P為線段AC的中點時，直線PF與CD所成的角為60°.