【題目】如圖所示，在四棱柱中，側(cè)棱底面，，，，，為棱的中點(diǎn).

（1）證明：；

（2）求二面角的正弦值；

（3）設(shè)點(diǎn)在線段上，且直線與平面所成角的正弦值是，求線段的長(zhǎng).

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）．

【解析】

（1）以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，通過(guò)可證得結(jié)論；

（2）根據(jù)二面角的空間向量求法可求得結(jié)果；

（3）利用共線向量和向量線性運(yùn)算表示出，根據(jù)直線與平面所成角的空間向量求法可構(gòu)造方程求得，從而得到，求解的模長(zhǎng)即為所求結(jié)果.

（1）以為原點(diǎn)可建立如下圖所示空間直角坐標(biāo)系

則，，，，，

，

（2）由（1）知：，

平面，平面

又，平面， 平面

平面的一個(gè)法向量為

設(shè)平面的法向量

則，令，則，

二面角的正弦值為

（3）由（1）知：，

設(shè)，

平面，平面

又，平面， 平面

平面的一個(gè)法向量為

設(shè)為直線與平面所成角

則，解得：

則 ，即的長(zhǎng)為

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知正方形邊長(zhǎng)為，若在正方形邊上恰有個(gè)不同的點(diǎn)，使，則的取值范圍為_____________.

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方案2：連猜三道“生活”類試題．

設(shè)職工甲猜中一道“科技”類試題的概率為0.5，猜中一道“生活”類試題的概率為0.6．

(1)你認(rèn)為職工甲選擇哪種方案通過(guò)競(jìng)猜的可能性大?并說(shuō)明理由．

(2)職工甲選擇哪一種方案所得平均分高?并說(shuō)明理由．

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【題目】已知等邊三角形的邊長(zhǎng)為，為邊的中點(diǎn)，沿將折成直二面角，則三棱錐的外接球的表面積為_____

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【題目】已知橢圓：的焦距與短軸長(zhǎng)相等，橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之差的最大值為4.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若點(diǎn)為橢圓上異于左右頂點(diǎn)，的任意一點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)作的垂線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，求的軌跡方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)從購(gòu)買該平臺(tái)某課程的客戶中，隨機(jī)抽取了100位客戶的數(shù)據(jù)，并將這100個(gè)數(shù)據(jù)按學(xué)時(shí)數(shù)，客戶性別等進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，整理得到如表：

學(xué)時(shí)數(shù)

男性

18

12

9

9

6

4

2

女性

2

4

8

2

7

13

4

（1）根據(jù)上表估計(jì)男性客戶購(gòu)買該課程學(xué)時(shí)數(shù)的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表，結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位）；

（2）從這100位客戶中，對(duì)購(gòu)買該課程學(xué)時(shí)數(shù)在20以下的女性客戶按照分層抽樣的方式隨機(jī)抽取7人，再?gòu)倪@7人中隨機(jī)抽取2人，求這2人購(gòu)買的學(xué)時(shí)數(shù)都不低于15的概率．

（3）將購(gòu)買該課程達(dá)到25學(xué)時(shí)及以上者視為“十分愛(ài)好該課程者”，25學(xué)時(shí)以下者視，為“非十分愛(ài)好該課程者”．請(qǐng)根據(jù)已知條件完成以下列聯(lián)表，并判斷是否有99．9%的把握認(rèn)為“十分愛(ài)好該課程者”與性別有關(guān)？

非十分愛(ài)好該課程者

十分愛(ài)好該課程者

合計(jì)

男性

女性

合計(jì)

100

附：，

0.100

0.050

0.025

0.010

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

10.828

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【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：上的動(dòng)點(diǎn)到一個(gè)焦點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離與最近距離分別是與，的左頂點(diǎn)為與軸平行的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，過(guò)、兩點(diǎn)且分別與直線、垂直的直線相交于點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）證明點(diǎn)在一條定直線上運(yùn)動(dòng)，并求出該直線的方程；

（3）求面積的最大值.

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【題目】2018年“雙十一”全網(wǎng)銷售額達(dá)億元，相當(dāng)于全國(guó)人均消費(fèi)元，同比增長(zhǎng)，監(jiān)測(cè)參與“雙十一”狂歡大促銷的家電商平臺(tái)有天貓、京東、蘇寧易購(gòu)、網(wǎng)易考拉在內(nèi)的綜合性平臺(tái)，有拼多多等社交電商平臺(tái)，有敦煌網(wǎng)、速賣通等出口電商平臺(tái).某大學(xué)學(xué)生社團(tuán)在本校名大一學(xué)生中采用男女分層抽樣，分別隨機(jī)調(diào)查了若干個(gè)男生和個(gè)女生的網(wǎng)購(gòu)消費(fèi)情況，制作出男生的頻率分布表、直方圖（部分）和女生的莖葉圖如下：

男生直方圖

分組（百元）

男生人數(shù)

頻率

合計(jì)

女生莖葉圖

（1）請(qǐng)完成頻率分布表的三個(gè)空格，并估計(jì)該校男生網(wǎng)購(gòu)金額的中位數(shù)（單位：元，精確到個(gè)位）.

（2）若網(wǎng)購(gòu)為全國(guó)人均消費(fèi)的三倍以上稱為“剁手黨”，估計(jì)該校大一學(xué)生中的“剁手黨”人數(shù)為多少？從抽樣數(shù)據(jù)中網(wǎng)購(gòu)不足元的同學(xué)中隨機(jī)抽取人發(fā)放紀(jì)念品，則人都是女生的概率為多少？

（3）用頻率估計(jì)概率，從全市所有高校大一學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查人，求其中“剁手黨”人數(shù)的分布列和期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，，M是線段EF的中點(diǎn)，二面角的大小為60°.

（1）求證：平面BDE；

（2）試在線段AC上找一點(diǎn)P，使得PF與CD所成的角是60°.

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