Question

【題目】已知橢圓C：（）的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率，點(diǎn)在橢圓C上，直線(xiàn)l過(guò)交橢圓于A，B兩點(diǎn).

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)A在x軸上方時(shí)，求點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；

（3）若直線(xiàn)交y軸于點(diǎn)M，直線(xiàn)交y軸于點(diǎn)N，是否存在直線(xiàn)l，使得與的面積滿(mǎn)足，若存在，求出直線(xiàn)l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2），；（3）存在，或

【解析】

（1）由和點(diǎn)在橢圓上結(jié)合可求出橢圓的方程.
（2）設(shè)，，則，結(jié)合點(diǎn)A在橢圓上可求出A點(diǎn)坐標(biāo)，然后可得直線(xiàn)AB的方程，再與橢圓聯(lián)立可求出B點(diǎn)坐標(biāo).
（3）設(shè)，，，，設(shè)直線(xiàn)l：，，.由建立關(guān)于 的方程從而求解.

解：（1）由題意可知，，，又，

聯(lián)立方程組可解得：，，

所以橢圓C的方程為.

（2）設(shè)，依題意，，，

，即，

，

又A在橢圓上，滿(mǎn)足，即，

，解得，即，

直線(xiàn)AB：，

聯(lián)立，解得.

（3）設(shè)，，，，

直線(xiàn)l：（斜率不存在時(shí)不滿(mǎn)足題意），

則，

.

聯(lián)立，得.

則，.

由直線(xiàn)的方程：，得M縱坐標(biāo).

由直線(xiàn)的方程：，得N縱坐標(biāo)，

由，得.

所以，

，，

代入根與系數(shù)的關(guān)系式，得，解得.

存在直線(xiàn)或滿(mǎn)足題意.