Question

【題目】已知.

（1）當(dāng)時(shí)，求證：；

（2）若有三個(gè)零點(diǎn)時(shí)，求的范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】分析：（1）令，，，利用導(dǎo)數(shù)可得在上單調(diào)遞減，，從而可得結(jié)論; （2）有三個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于有三個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，可得是單調(diào)函數(shù)，至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意，當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)圖象可得的范圍是.

詳解：（1）證明：，

令，，，

，

在上單調(diào)遞減，，

所以原命題成立.

（2）由 有三個(gè)零點(diǎn)可得

有三個(gè)零點(diǎn)，

，

①當(dāng)時(shí)，恒成立，可得至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；

②當(dāng)時(shí)，恒成立，可得至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；

③當(dāng)時(shí)，記得兩個(gè)零點(diǎn)為，，不妨設(shè)，且，

時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，

觀察可得，且，

當(dāng)時(shí)，；單調(diào)遞增，

所以有，即，

時(shí)，，單調(diào)遞減，

時(shí)，單調(diào)遞減，

由（1）知，，且，所以在上有一個(gè)零點(diǎn)，

由，且，所以在上有一個(gè)零點(diǎn)，

綜上可知有三個(gè)零點(diǎn)，

即有三個(gè)零點(diǎn)，

所求的范圍是.