【題目】已知函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若方程存在兩個不同的實數(shù)根， ，證明： .

【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.

【解析】試題分析：

（1）先求得函數(shù)的定義域為，由及對取值的討論可得當(dāng)時， 在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時， 在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.（2）設(shè)， ，可得， 。故原不等式可化為證，等價于。在此基礎(chǔ)上，令，轉(zhuǎn)化為證成立，構(gòu)造函數(shù)，通過單調(diào)性可得不等式成立。

試題解析：

（1）函數(shù)的定義域為，

∵

∴.

①當(dāng)時， ，故在區(qū)間上單調(diào)遞增.

②當(dāng)時，

則當(dāng)時， ， 上單調(diào)遞增；

當(dāng)時， ， 上單調(diào)遞減。

綜上，當(dāng)時， 在區(qū)間上單調(diào)遞增；

當(dāng)時， 在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.

（2）由方程存在兩個不同的實數(shù)根， ，可設(shè)，

∵， ，

∴，

∴.

要證，只需證，等價于，

設(shè)，則上式轉(zhuǎn)化為，

設(shè)，

則，

∴在上單調(diào)遞增，

∴，

∴，

∴.

練習(xí)冊系列答案
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（1）求證： 平面；

（2）求證： 平面.

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【題目】已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點，焦點在軸上，短軸長為，且兩個焦點和短軸的兩個端點恰為一個正方形的頂點，過右焦點與軸不垂直的直線交橢圓于， 兩點．

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（Ⅱ）當(dāng)直線的斜率為時，求的面積．

（Ⅲ）在線段上是否存在點，使得經(jīng)， 為領(lǐng)邊的平行四邊形是菱形？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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【題目】已知曲線的方程為（， 為常數(shù)）.

（1）判斷曲線的形狀；

（2）設(shè)曲線分別與軸， 軸交于點， （， 不同于原點），試判斷的面積是否為定值？并證明你的判斷；

（3）設(shè)直線： 與曲線交于不同的兩點， ，且，求的值.

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（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

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