Question

已知橢圓C：=1（a>0，b>0）的離心率與雙曲線=1的一條漸近線的斜率相等以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線sin·x+cos·y－l=0相切（為常數(shù)）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若過點(diǎn)M（3，0）的直線與橢圓C相交TA，B兩點(diǎn)，設(shè)P為橢圓上一點(diǎn)，且滿足（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)t取值范圍．

Answer 1

(1) ;(2) 或．

試題分析：(1)此問主要考察橢圓與雙曲線的性質(zhì)，橢圓的離心率與雙曲線的性質(zhì)相等，則，利用直線與圓相切得到圓心到直線的距離等于半徑，解出,然后利用,解出,得到方程;
(2)典型的直線與圓錐曲線相交問題，首先方程聯(lián)立,寫出根與系數(shù)的關(guān)系，代入向量相等的坐標(biāo)表示，得出點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)在橢圓上，代入方程，然后利用,利用弦長公式，得到的范圍，與之前得到的與的關(guān)系式，求出的范圍.
試題解析：（I）由題意知雙曲線的一漸近線斜率值為
，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824055832822938.png" style="vertical-align:middle;" />，所以．故橢圓的方程為    5分
（Ⅱ）設(shè)?方程為?
由?整理得．
由，解得．
，        7分
∴  則,
， 由點(diǎn)在橢圓上，代入橢圓方程得
①         9分
又由，即，
將，，
代入得則, 
， ∴②      11分
由①，得，聯(lián)立②，解得
∴或        13分