【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=mlnx(m∈R),g(x)=cosx.
(1)若函數(shù) 在(1,+∞)上單調(diào)遞增,求m的取值范圍;
(2)設(shè)函數(shù)φ(x)=f(x)+g(x),若對(duì)任意的 ,都有φ(x)≥0,求m的取值范圍;
(3)設(shè)m>0,點(diǎn)P(x0 , y0)是函數(shù)f(x)與g(x)的一個(gè)交點(diǎn),且函數(shù)f(x)與g(x)在點(diǎn)P處的切線互相垂直,求證:存在唯一的x0滿足題意,且 .
【答案】
(1)解:由題意,知 ,所以 .
由題意, ,即 對(duì)x∈(1,+∞)恒成立.
又當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí), ,所以m≥1
(2)解:因?yàn)棣眨▁)=f(x)+g(x)=mlnx+cosx,所以 .
①當(dāng)m≤0時(shí),因?yàn)? ,所以lnx>0,cosx<0,故φ(x)<0,不合題意.
②當(dāng)m>0時(shí),因?yàn)? ,所以φ'(x)>0,故φ(x)在 上單調(diào)遞增.
欲φ(x)≥0對(duì)任意的 都成立,則需φ(π)≥0,所以mlnπ+cosπ≥0,解得 .
綜上所述,m的取值范圍是
(3)解:證明:因?yàn)? ,g'(x)=﹣sinx,且函數(shù)f(x)與g(x)在點(diǎn)P(x0,y0)處的切線互相垂直,
所以 ,即msinx0=x0(*).
又點(diǎn)P(x0,y0)是函數(shù)f(x)與g(x)的一個(gè)交點(diǎn),所以mlnx0=cosx0(**).
由(*)(**)消去m,得x0lnx0﹣sinx0cosx0=0.
①當(dāng)x0∈(0,1]時(shí),因?yàn)閙>0,所以mlnx0≤0,且cosx0>0,此與(**)式矛盾.
所以在(0,1]上沒(méi)有x0適合題意
②當(dāng)x0∈(1,+∞)時(shí),設(shè)r(x)=xlnx﹣sinxcosx,x∈(1,+∞).
則r'(x)=lnx+1﹣cos2x>0,即函數(shù)r(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,
所以函數(shù)r(x)在(1,+∞)上至多有一個(gè)零點(diǎn).
因?yàn)閞(1)=ln1﹣sin1cos1=﹣sin1cos1<0, ,
且r(x)的圖象在(1,+∞)上不間斷,所以函數(shù)r(x)在 有唯一零點(diǎn).
即只有唯一的x0∈(1,+∞),使得x0lnx0﹣sinx0cosx0=0成立,且 .
綜上所述,存在唯一的x0∈(0,+∞),且
【解析】(1)根據(jù)求導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)性令 h ' ( x ) ≥ 0,即得m的取值范圍 。(2)利用求導(dǎo)函數(shù)討論導(dǎo)函數(shù)正負(fù)進(jìn)而得到函數(shù)的單調(diào)性。(3)利用求導(dǎo)函數(shù)以及函數(shù)f(x)與g(x)在點(diǎn)P處的切線互相垂直,得到msinx0=x0;又點(diǎn)P(x0,y0)是函數(shù)f(x)與g(x)的一個(gè)交點(diǎn),得到mlnx0=cosx0,進(jìn)而得到x0lnx0﹣sinx0cosx0=0.對(duì)x0分情況討論,當(dāng)x0∈(0,1]時(shí),在(0,1]上沒(méi)有x0適合題意。當(dāng)x0∈(1,+∞)時(shí)函數(shù)r(x)在(1,+∞)上至多有一個(gè)零點(diǎn),再根據(jù)零點(diǎn)定理可得,函數(shù)r(x)有唯一零點(diǎn),即得結(jié)果。
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個(gè)最大值,最小的是最小值才能正確解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=2,以極點(diǎn)為原點(diǎn),極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系,直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)).
(Ⅰ)寫出直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)設(shè)曲線C經(jīng)過(guò)伸縮變換 得到曲線C',若點(diǎn)P(1,0),直線l與C'交與A,B,求|PA||PB|,|PA|+|PB|.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知向量 =(cos ,﹣1) =( ),設(shè)函數(shù)f(x)= +1.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)若關(guān)于x的方程f(x)=a在區(qū)間[0,π]上有實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】數(shù)列{an}為遞增的等差數(shù)列,a1=f(x+1),a2=0,a3=f(x﹣1),其中f(x)=x2﹣4x+2,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為( )
A.an=n﹣2
B.an=2n﹣4
C.an=3n﹣6
D.an=4n﹣8
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)是以4為周期的奇函數(shù),當(dāng)x∈[﹣1,0)時(shí),f(x)=2x , 則f(log220)= .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c且a+2c=2bcosA.
(1)求角B的大;
(2)若b=2 ,a+c=4,求△ABC的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐A﹣BOC中,OA,OB,OC兩兩垂直,點(diǎn)D,E分別為棱BC,AC的中點(diǎn),F(xiàn)在棱AO上,且滿足OF= ,已知OA=OC=4,OB=2.
(1)求異面直線AD與OC所成角的余弦值;
(2)求二面角C﹣EF﹣D的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,PC⊥AD.底面ABCD為梯形,AB∥DC,AB⊥BC,PA=AB=BC,點(diǎn)E在棱PB上,且PE=2EB.
(1)求證:平面PAB⊥平面PCB;
(2)求證:PD∥平面EAC.
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