【題目】如圖,在三棱錐A﹣BOC中,OA,OB,OC兩兩垂直,點(diǎn)D,E分別為棱BC,AC的中點(diǎn),F(xiàn)在棱AO上,且滿足OF= ,已知OA=OC=4,OB=2.

(1)求異面直線AD與OC所成角的余弦值;
(2)求二面角C﹣EF﹣D的正弦值.

【答案】
(1)解:如圖,以O(shè)為原點(diǎn),分別以O(shè)B、OC、OA所在直線為x軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.

依題意可得:O(0,0,0),A(0,0,4),B(2,0,0),C(0,4,0),D(1,2,0),E(0,2,2),F(xiàn)(0,0,1),

, ,

于是 , ,

∴cos< >=


(2)解:平面AOC的一個(gè)法向量為

設(shè) 為平面DEF的一個(gè)法向量,

,

,取z=2,則x=4,y=﹣1,

為平面DEF的一個(gè)法向量,

從而cos< >= ,

設(shè)二面角C﹣EF﹣D的大小為θ,則|cosθ|=

∵θ∈[0,π],∴sinθ=

因此二面角C﹣EF﹣D的正弦值為


【解析】(1)根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系,進(jìn)而求出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而得到的坐標(biāo),利用向量的數(shù)量積公式可求出其余弦值。(2)根據(jù)題意可得平面AOC的一個(gè)法向量為 = ( 2 , 0 , 0 ) .求出平面DEF的一個(gè)法向量的坐標(biāo),利用向量的數(shù)量積可求出二面角平面角的余弦值,進(jìn)而得到正弦值。
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解異面直線及其所成的角的相關(guān)知識(shí),掌握異面直線所成角的求法:1、平移法:在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點(diǎn),作另一條的平行線;2、補(bǔ)形法:把空間圖形補(bǔ)成熟悉的或完整的幾何體,如正方體、平行六面體、長(zhǎng)方體等,其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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A.
B.1
C.
D.

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【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=mlnx(m∈R),g(x)=cosx.
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(2)設(shè)函數(shù)φ(x)=f(x)+g(x),若對(duì)任意的 ,都有φ(x)≥0,求m的取值范圍;
(3)設(shè)m>0,點(diǎn)P(x0 , y0)是函數(shù)f(x)與g(x)的一個(gè)交點(diǎn),且函數(shù)f(x)與g(x)在點(diǎn)P處的切線互相垂直,求證:存在唯一的x0滿足題意,且

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(1)記游泳池及其附屬設(shè)施的占地面積為f(θ),求f(θ)的表達(dá)式;
(2)怎樣設(shè)計(jì)才能符合園林局的要求?

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(2)若 ,問(wèn):是否存在實(shí)數(shù)t,使得向量 和向量 的夾角為 ,若存在,請(qǐng)求出t;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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