【題目】平面直角坐標系xOy中,已知F1、F2分別是橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點,且右焦點F2的坐標為(,0),點(,)在橢圓C上.

)求橢圓C的標準方程;

)在橢圓C上任取一點P,點Q在PO的延長線上,且=2.

(1)當點P在橢圓C上運動時,求點Q形成的軌跡E的方程;

(2)若過點P的直線l:y=x+m交(1)中的曲線E于A,B兩點,求ABQ面積的最大值.

【答案】(I;(II(1);(2.

【解析】

試題分析:)利用橢圓的焦點坐標和點在橢圓上,列出方程組,求出,由此能求出橢圓的標準方程;)(1)設,則,由此能求出當點在橢圓上運動時,求點形成的軌跡的方程(2)聯(lián)立,得,由此利用根的判別式、韋達定理、弦長公式、點到直線距離公式,結合已知能求出面積的最大值.

試題解析:

F1、F2分別是橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點,

且右焦點F2的坐標為,0),點(在橢圓C上,

,解得a=2,b=1,

橢圓C的標準方程為+y2=1.

)(1)在橢圓C上任取一點P,點Q在PO的延長線上,且=2,

設P(2cosθ,sinθ),則Q(4cosθ,2sinθ),0≤θ<2π,

當點P在橢圓C上運動時,求點Q形成的軌跡E的方程:

,0≤θ<2π,

點E的直角坐標方程為:=1.

(2)聯(lián)立,得5x2+8mx+4m216=0,

設A(x1,y1),B(x2,y2),則,,

=64m280m2+320>0,解得2,

|AB|==,

設Q(4cosθ,2sinθ),則Q到直線y=x+m的距離d==|2sin(θ+α)+m|,

當m=0時,ABQ面積取最大值S==8.

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