Question

【題目】已知函數(shù)，，當時，與的圖象在處的切線相同.

（1）求的值；

（2）令，若存在零點，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）4（2）

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)導數(shù)幾何意義得，分別求導得，，即得（2）研究函數(shù)零點問題，一般利用變量分離法轉(zhuǎn)化為對應函數(shù)值域問題：即求函數(shù)的值域，先求函數(shù)導數(shù)，再研究導函數(shù)零點，設(shè)，則，而，所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，.

試題解析：(1) 當時，

，則，又，所以在處的切線方程為，又因為和的圖像在處的切線相同，

所以. （4分）

(2) 因為有零點

所以

即有實根.

令

令

則恒成立，而，

所以當時，，當時，.

所以當時，，當時，.

故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，即.

當時，，當時，.

根據(jù)函數(shù)的大致圖像可知. （12分）