Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）談?wù)摵瘮?shù)的單調(diào)性；

（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)任取有兩個不相等的實數(shù)，，不等式恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）當時,函數(shù)在上單調(diào)遞增；當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（Ⅱ）.

【解析】

試題分析：（1）函數(shù)的定義域為 ， ，然后再對進行分類討論，分和兩種情況，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性性質(zhì)，即可求出結(jié)果；（2）令 ，則 .已知，則.

由 .設(shè)函數(shù) ，則函數(shù)是在 上的增函數(shù)，又，則原問題轉(zhuǎn)化為：只要上恒成立，然后再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的最小值，即可求出結(jié)果.

試題解析：

（1）函數(shù)的定義域為 ， ，

①當時，，在 上恒成立，所以 在上單調(diào)遞增.

②當時，方程有一正根一負根，在上的根為 ，所以函數(shù) 在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

綜上，當時， 在上單調(diào)遞增；

當時，函數(shù) 在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

（2）不妨令 ，則 .

已知，則.

由

.

設(shè)函數(shù) ，則函數(shù)是在 上的增函數(shù)，

所以，

又函數(shù)是在 上的增函數(shù)，只要上恒成立， 在上，所以 .