Question

【題目】已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)的積為，記，.

（1）若數(shù)列為等比數(shù)列，數(shù)列為等差數(shù)列，求數(shù)列的公比.

（2）若，，且

①求數(shù)列的通項(xiàng)公式.

②記，那么數(shù)列中是否存在兩項(xiàng)，（s，t均為正偶數(shù)，且），使得數(shù)列，，，成等差數(shù)列？若存在，求s，t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）數(shù)列的公比為1（2）①②存在；s，t的值為和

【解析】

（1）由得的等式，再由可求得的關(guān)系，得出結(jié)論；

（2）①已知條件可變形為（），從而可求出，從而可得，注意，求積可得；

②由①知.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性得數(shù)列的單調(diào)性：，假設(shè)存在s，t滿足題意，若，由單調(diào)性出現(xiàn)矛盾，這樣，，分別求．即可得結(jié)論．

（1）因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，

所以.

又因?yàn)?/span>，，，

所以（*）

因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，所以，

代入（*）得，即，

所以，

故數(shù)列的公比為1.

（2）①當(dāng)時(shí)，由

得，

從而

又因?yàn)?/span>，，

所以

故，，

所以.

綜上，數(shù)列的通項(xiàng)公式為.

②由①知.

記，則，

從而函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

又因?yàn)?/span>，

所以.

假設(shè)存在s，t滿足題意，若，

則，，所以，不合題意，

所以s只能為2，4，6，且.

（i）當(dāng)時(shí)，由，得，

故.

由數(shù)列的單調(diào)性可知存在唯一的滿足題意.

（ii）當(dāng)時(shí)，由，得，

故.

同（i）知.

（ⅲ）當(dāng)時(shí)，由，得

故.

又因?yàn)?/span>，

由數(shù)列的單調(diào)性知，故，

但不成立，所以與題意不符.

綜上，滿足條件的s，t的值為和.