Question

【題目】已知.

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若恒成立，求的值.

Answer 1

【答案】(1)見解析（2）

【解析】試題分析：

（1）的定義域?yàn)?/span>，求導(dǎo)可得.則考查函數(shù)的單調(diào)性只需考查二次函數(shù)的性質(zhì)可得：

當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)， 在和上單調(diào)遞增，

在上單調(diào)遞減.

（2）原問題等價(jià)于， 恒成立. 構(gòu)造函數(shù)，令，則， ，即在時(shí)取得最大值.

.由解得.經(jīng)檢驗(yàn)可得a=1符合題意.故.

試題解析：

（1）的定義域?yàn)?/span>， .

∵.

令，則

（a）若，即當(dāng)時(shí)，對(duì)任意， 恒成立， 即當(dāng)時(shí)， 恒成立（僅在孤立點(diǎn)處等號(hào)成立）.

∴在上單調(diào)遞增.

（b）若，即當(dāng)或時(shí)， 的對(duì)稱軸為.

①當(dāng)時(shí)， ，且.

如圖，任意， 恒成立， 即任意時(shí)， 恒成立，

∴在上單調(diào)遞增.

②當(dāng)時(shí)， ，且.

如圖，記的兩根為

∴當(dāng)時(shí)， ；

當(dāng)時(shí)， .

∴當(dāng)時(shí)， ，

當(dāng)時(shí)， .

∴在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

綜上，當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)， 在和上單調(diào)遞增，

在上單調(diào)遞減.

（2）恒成立等價(jià)于， 恒成立.

令，則恒成立等價(jià)于， .

要滿足式，即在時(shí)取得最大值.

∵.

由解得.

當(dāng)時(shí)， ，

∴當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， .

∴當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，從而，符合題意.

所以， .