Question

【題目】已知函數(shù)．

(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)性；

(Ⅱ)證明： (為自然對數(shù)的底)恒成立．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)見解析；(Ⅱ)見解析.

【解析】

(Ⅰ)求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；

(Ⅱ)取，有，即，求出(當且僅當時等號成立)，問題轉(zhuǎn)化為證明在上恒成立即可，設(shè)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

(Ⅰ)解：函數(shù)的定義域為，

當時，恒成立，所以在內(nèi)單調(diào)遞增；

當時，令，得，所以當時，單調(diào)遞增；

當時，單調(diào)遞減，

綜上所述，當時，在內(nèi)單調(diào)遞增；

當時，在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減

(Ⅱ)證明：由(1)可知，當時，

特別地，取，有，即，

所以(當且僅當時等號成立)，因此，要證恒成立，

只要證明在上恒成立即可

設(shè)，則，

當時，單調(diào)遞減，

當時，單調(diào)遞增．

故當時， ，即在上恒成立

因此，有，又因為兩個等號不能同時成立，

所以有恒成立

或：令，則，

再令，則，

由知，存在，

使得，得，

由可證，進而得證．