【題目】如圖,在三棱錐P﹣ABC中,和都為等腰直角三角形,,,M為AC的中點(diǎn),且.
(1)求二面角P﹣AB﹣C的大;
(2)求直線PM與平面PBC所成角的正弦值.
【答案】(1);(2).
【解析】
(1)取線段AB,BC的中點(diǎn)O,N,連接PO,ON,MN,PN,證出為P﹣AB﹣C二面角,在中利用余弦定理即可求解.
(2)由(1)以為軸,以為軸,過(guò)作平面的垂線,以垂線為軸建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面PBC的一個(gè)法向量,利用空間向量的數(shù)量積即可求出線面角.
(1)
分別取線段AB,BC的中點(diǎn)O,N,連接PO,ON,MN,PN,設(shè)AC=2,則有
在等腰直角△PAB中,O是中點(diǎn),
則有AB⊥PO﹣﹣﹣①
在等腰直角△ABC中,點(diǎn)O,N分別是AB,
BC的中點(diǎn),則有AB⊥ON﹣﹣﹣②
由①②可知,AB⊥平面PON,
又∵MN∥AB,∴MN⊥平面PON,則有MN⊥PN.
又AB=2,則 MN=1,
又PM=AC=2,則有PN,又OP=ON=1,
由三角形余弦定理可知,,
∴∠PON=,
即二面角P﹣AB﹣C的大小為.
(2)
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,過(guò)點(diǎn)P作PD⊥ON交NO延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,設(shè)AB=AC=2,則有
A(﹣1,0,0),C(﹣1,2,0),B(1,0,0),M(﹣1,1,0),
由(1)可知,∠POD=180°﹣∠PON=60°,又∵OP=1,∴.
∴,.
∴,
設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為,則有,
又∵,,∴,
∴.
設(shè)直線PM與平面PBC所成角為θ,則有:
.
故直線PM與平面PBC所成角的正弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=|x﹣2|﹣t,t∈R,g(x)=|x+3|.
(1)x∈R,有f(x)≥g(x),求實(shí)數(shù)t的取值范圍;
(2)若不等式f(x)≤0的解集為[1,3],正數(shù)a、b滿足ab﹣2a﹣b=2t﹣2,求a+2b的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知向量,(ω>0),且函數(shù)的兩個(gè)相鄰對(duì)稱中心之間的距離是.
(1)求;
(2)若函數(shù)在上恰有兩個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓的左頂點(diǎn)為,離心率為,過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于另一點(diǎn),點(diǎn)為軸上的一點(diǎn).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形,求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足.
(1)證明數(shù)列為等差數(shù)列,并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.
(2)若不等式,對(duì)任意恒成立,求的取值范圍.
(3)記數(shù)列的前項(xiàng)和為,是否存在正整數(shù),使得成立,若存在,求出所有符合條件的有序?qū)崝?shù)對(duì)(,);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知曲線:(參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的非負(fù)半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為,點(diǎn)的極坐標(biāo)為.
(1)將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,并求出點(diǎn)的直角坐標(biāo);
(2)設(shè)為曲線上的點(diǎn),求中點(diǎn)到曲線上的點(diǎn)的距離的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知是正三角形,EA,CD都垂直于平面ABC,且,二面角的平面角大小為,F是BE的中點(diǎn),求證:
(1)平面ABC;
(2)平面EDB;
(3)求幾何體的體積.
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