【題目】已知四棱錐的底面ABCD是菱形,且,是等邊三角形.
(Ⅰ)證明:;
(Ⅱ)若平面平面ABCD,求二面的余弦值.
【答案】(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ).
【解析】
(I)取AB的中點(diǎn)O,連接OP,OD,BD,利用等比三角形的性質(zhì)得到,利用有一個(gè)角是的菱形的幾何性質(zhì),證得,由此證得平面,從而證得.
(II)證得,結(jié)合,以為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,通過計(jì)算平面和平面的法向量,求得二面角的余弦值.
(Ⅰ)證明:取AB的中點(diǎn)O,連接OP,OD,BD
∵是等邊三角形,∴
又∵四邊形ABCD是菱形,
∴是等邊三角形
∴
∵,PO,平面POD
∴平面POD
∵平面POD
∴
(Ⅱ)∵平面平面ABCD,平面平面,∴平面ABCD,∴
以O為原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz,
設(shè)
平面PAB的一個(gè)法向量為,,,
∴,
設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為,則
令,得,
∴
設(shè)二面角的平面角為,為鈍角
∴
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線,圓.
(Ⅰ)是拋物線的焦點(diǎn),是拋物線上的定點(diǎn),,求拋物線的方程;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,過點(diǎn)的直線與圓相切,設(shè)直線交拋物線于,兩點(diǎn),則在軸上是否存在點(diǎn)使?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】近年來,智能手機(jī)的更新?lián)Q代極其頻繁和快速,而青少年對新事物的追求更是強(qiáng)烈,為了調(diào)查大學(xué)生更換手機(jī)的時(shí)間,現(xiàn)對某大學(xué)中的大學(xué)生使用一部手機(jī)的年限進(jìn)行了問卷調(diào)查,并從參與調(diào)查的大學(xué)生中抽取了男生、女生各人進(jìn)行抽樣分析,制成如下的頻率分布直方圖.
(1)根據(jù)頻率分布直方圖,估計(jì)男大學(xué)生使用手機(jī)年限的中位數(shù)和女大學(xué)生使用手機(jī)年限的眾數(shù);
(2)根據(jù)頻率分布直方圖,求出男大學(xué)生和女大學(xué)生使用手機(jī)年限的平均值,并分析比較男大學(xué)生和女大學(xué)生哪個(gè)群體更換手機(jī)的頻率更高.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】名學(xué)生某次數(shù)學(xué)考試成績(單位:分)的頻率分布直方圖如圖.
(1)求頻率分布直方圖中的值;
(2)估計(jì)總體中成績落在中的學(xué)生人數(shù);
(3)根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)名學(xué)生數(shù)學(xué)考試成績的眾數(shù),中位數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某共享單車經(jīng)營企業(yè)欲向甲市投放單車,為制定適宜的經(jīng)營策略,該企業(yè)首先在已投放單車的乙市進(jìn)行單車使用情況調(diào)查.調(diào)查過程分隨機(jī)問卷、整理分析及開座談會(huì)三個(gè)階段.在隨機(jī)問卷階段,A,B兩個(gè)調(diào)查小組分赴全市不同區(qū)域發(fā)放問卷并及時(shí)收回;在整理分析階段,兩個(gè)調(diào)查小組從所獲取的有效問卷中,針對15至45歲的人群,按比例隨機(jī)抽取了300份,進(jìn)行了數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì),具體情況如下表:
組別 年齡 | A組統(tǒng)計(jì)結(jié)果 | B組統(tǒng)計(jì)結(jié)果 | ||
經(jīng)常使用單車 | 偶爾使用單車 | 經(jīng)常使用單車 | 偶爾使用單車 | |
27人 | 13人 | 40人 | 20人 | |
23人 | 17人 | 35人 | 25人 | |
20人 | 20人 | 35人 | 25人 |
(1)先用分層抽樣的方法從上述300人中按“年齡是否達(dá)到35歲”抽出一個(gè)容量為60人的樣本,再用分層抽樣的方法將“年齡達(dá)到35歲”的被抽個(gè)體數(shù)分配到“經(jīng)常使用單車”和“偶爾使用單車”中去.求這60人中“年齡達(dá)到35歲且偶爾使用單車”的人數(shù);
(2)從統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可直觀得出“是否經(jīng)常使用共享單車與年齡(記作歲)有關(guān)”的結(jié)論.在用獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法說明該結(jié)論成立時(shí),為使犯錯(cuò)誤的概率盡可能小,年齡應(yīng)取25還是35?請通過比較的觀測值的大小加以說明.
參考公式:,其中.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知{an}為正項(xiàng)等比數(shù)列,a1+a2=6,a3=8.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an;
(2)若bn=,且{bn}前n項(xiàng)和為Tn,求Tn.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我邊防局接到情報(bào),在海礁所在直線的一側(cè)點(diǎn)處有走私團(tuán)伙在進(jìn)行交易活動(dòng),邊防局迅速派出快艇前去搜捕:如圖,已知快艇出發(fā)位置在的另一側(cè)碼頭處,公里,公里,;
(1)是否存在點(diǎn),使快艇沿航線或的路程相等;如存在,則建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系,求出點(diǎn)的軌跡方程,且畫出軌跡的大致圖形;如不存在,請說明理由;
(2)問走私船在怎樣的區(qū)域上時(shí),路線比路線的路程短,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】重慶市第八中學(xué)校為了解學(xué)生喜愛運(yùn)動(dòng)是否與性別有關(guān),從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取50名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查,得到如圖所示的列聯(lián)表.
喜愛運(yùn)動(dòng) | 不喜愛運(yùn)動(dòng) | 合計(jì) | |
男生 | 22 | 8 | 30 |
女生 | 8 | 12 | 20 |
合計(jì) | 30 | 20 | 50 |
附:,
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(1)能否有97.5%以上的把握認(rèn)為“喜愛運(yùn)動(dòng)”與“性別”有關(guān);
(2)用分層抽樣的方法從被調(diào)查的20名女生中抽取5名進(jìn)行問卷調(diào)查,求抽取喜愛運(yùn)動(dòng)的女生、不喜愛運(yùn)動(dòng)的女生各有多少的人;
(3)在(2)抽取的女生中,隨機(jī)選出2人進(jìn)行座談,求至少有1名是喜愛運(yùn)動(dòng)的女生的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】線段AB外有一點(diǎn)C,∠ABC=60°,AB=200 km,汽車以80 km/h的速度由A向B行駛,同時(shí)摩托車以50 km/h的速度由B向C行駛,則運(yùn)動(dòng)開始________h后,兩車的距離最。
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