【題目】已知函數(shù)f(x)=x+alnx在x=1處的切線與直線x+2y=0垂直,函數(shù)g(x)=f(x)+ x2﹣bx.
(1)求實數(shù)a的值;
(2)若函數(shù)g(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間,求實數(shù)b的取值范圍;
(3)設(shè)x1 , x2(x1<x2)是函數(shù)g(x)的兩個極值點,若b≥ ,求g(x1)﹣g(x2)的最小值.
【答案】
(1)解:∵f(x)=x+alnx,
∴f′(x)=1+ ,
∵f(x)在x=1處的切線l與直線x+2y=0垂直,
∴k=f′(x)|x=1=1+a=2,
解得a=1
(2)解:∵g(x)=lnx+ ﹣(b﹣1)x,
∴g′(x)= ,x>0,
由題意知g′(x)<0在(0,+∞)上有解,
即x+ +1﹣b<0有解,
∵定義域x>0,
∴x+ ≥2,
x+ <b﹣1有解,
只需要x+ 的最小值小于b﹣1,
∴2<b﹣1,解得實數(shù)b的取值范圍是{b|b>3}
(3)解:∵g(x)=lnx+ ﹣(b﹣1)x,
∴g′(x)= =0,∴x1+x2=b﹣1,x1x2=1
∴g(x1)﹣g(x2)=ln ﹣ ( ﹣ )
∵0<x1<x2,
∴設(shè)t= ,0<t<1,
令h(t)=lnt﹣ (t﹣ ),0<t<1,
則h′(t)=﹣ <0,
∴h(t)在(0,1)上單調(diào)遞減,
又∵b≥ ,∴(b﹣1)2≥ ,
∵0<t<1,∴4t2﹣17t+4≥0,
∴0<t≤ ,h(t)≥h( )= ﹣2ln2,
故所求的最小值為 ﹣2ln2
【解析】(1)求導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義能求出實數(shù)a的值.(2)由題意知g′(x)<0在(0,+∞)上有解,即x+ +1﹣b<0有解,由此能求出實數(shù)b的取值范圍.(3)g(x1)﹣g(x2)=ln ﹣ ( ﹣ ),由此利用構(gòu)造成法和導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出g(x1)﹣g(x2)的最小值.
【考點精析】掌握函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)是解答本題的根本,需要知道求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)f(x)在[a,b]上有定義,若對任意x1 , x2∈[a,b],有 則稱f(x)在[a,b]上具有性質(zhì)P.設(shè)f(x)在[1,3]上具有性質(zhì)P,現(xiàn)給出如下命題:
①f(x)在[1,3]上的圖象是連續(xù)不斷的;
②f(x2)在[1, ]上具有性質(zhì)P;
③若f(x)在x=2處取得最大值1,則f(x)=1,x∈[1,3];
④對任意x1 , x2 , x3 , x4∈[1,3],有 [f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)]
其中真命題的序號是( )
A.①②
B.①③
C.②④
D.③④
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【題目】設(shè)一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是2.8,方差是3.6,若將這組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)都加上10,得到一組新數(shù)據(jù),則所得新數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別是( )
A.12.8 3.6 B.2.8 13.6 C.12.8 13.6 D.13.6 12.8
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【題目】已知圓,直線
(1)求證:不論取何實數(shù),直線與圓總有兩個不同的交點;
(2)設(shè)直線與圓交于點,當(dāng)時,求直線的方程.
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【題目】某市教育與環(huán)保部門聯(lián)合組織該市中學(xué)參加市中學(xué)生環(huán)保知識團(tuán)體競賽,根據(jù)比賽規(guī)則,某中學(xué)選拔出8名同學(xué)組成參賽隊,其中初中學(xué)部選出的3名同學(xué)有2名女生;高中學(xué)部選出的5名同學(xué)有3名女生,競賽組委會將從這8名同學(xué)中隨機選出4人參加比賽.
(1)設(shè)“選出的4人中恰有2名女生,而且這2名女生來自同一個學(xué)部”為事件A,求事件A的概率P(A);
(2)設(shè)X為選出的4人中女生的人數(shù),求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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【題目】我們定義漸近線:已知曲線C,如果存在一條直線,當(dāng)曲線C上任意一點M沿曲線運動時,M可無限趨近于該直線但永遠(yuǎn)達(dá)不到,那么這條直線稱為這條曲線的漸近線:下列函數(shù):①y= ;②y=2x﹣1;③y=lg(x﹣1);④y= ;其中有漸近線的函數(shù)的個數(shù)為( )
A.1
B.2
C.3
D.4
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【題目】已知橢圓.
(1)若橢圓的離心率為,求的值;
(2)若過點任作一條直線與橢圓交于不同的兩點,在軸上是否存在點,使得 若存在,求出點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點稱為整點,如果函數(shù)f(x)的圖象恰好通過n()個整點,則稱函數(shù)f(x)為n階整點函數(shù)。有下列函數(shù):
① ② ③ ④
其中是一階整點的是( )
A. ①②③④ B. ①③④ C. ④ D. ①④
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