Question

【題目】已知橢圓．

（1）若橢圓的離心率為，求的值；

（2）若過點(diǎn)任作一條直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，在軸上是否存在點(diǎn)，使得 若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）=；（2）存在點(diǎn) ，使得 ．

【解析】

（1）由a2=2，b2=n，所以c2=2-n，又，得n
（2）若存在點(diǎn)M（m，0），使得∠NMA+∠NMB=180°，
則直線AM和BM的斜率存在，分別設(shè)為k1，k2．等價(jià)于k1+k2=0．
依題意，直線l的斜率存在，故設(shè)直線l的方程為y=k（x+2）．與橢圓方程聯(lián)立，利用△＞0．求出．設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），利用韋達(dá)定理，通過令，求出m．

解：（1） 因?yàn)?/span> ，，所以 ．

又 ，所以有 ，得 ．

（2）若存在點(diǎn) ，使得 ，

則直線 和 的斜率存在，

分別設(shè)為 ，，且滿足 ．

依題意，直線 的斜率存在，故設(shè)直線 的方程為 ．

由 得 ．

因?yàn)橹本� 與橢圓 有兩個(gè)交點(diǎn)，所以 ．

即 ，解得 ．

設(shè) ，，則 ，，

，．

令 ，即 ，

即 ，

當(dāng) 時(shí)，，

所以 ，化簡得，，所以 ．

當(dāng) 時(shí)，檢驗(yàn)也成立．

所以存在點(diǎn) ，使得 ．