【題目】已知等邊△ABC.
(1)如圖①,P為等邊△ABC外一點(diǎn),且∠BPC=120°,試猜想線段BP、PC、AP之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的猜想;
(2)如圖②,P為等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn),且∠APD=120°,求證:PA+PD+PC>BD;
(3)在(2)的條件下,若∠CPD=30°,AP=4,CP=5,DP=8,求BD的長

【答案】解:(1)AP=BP+PC,
證明:延長BP至E,使PE=PC,連接CE,如圖1所示,
∵∠BPC=120°,
∴∠CPE=60°,
又∵PE=PC,
∴△CPE為等邊三角形,
∴CP=PE=CE,∠PCE=60°,
∵△ABC為等邊三角形,
∴AC=BC,∠BCA=60°,
∴∠ACB=∠PCE,
∴∠ACB+∠BCP=∠PCE+∠BCP,
即∠ACP=∠BCE,
在△ACP與△BCE中,
,
∴△ACP≌△BCE(SAS),
∴AP=BE,
∵BE=BP+PE,
∴AP=BP+PC;
(2)證明:延長DP到M使得PM=PA,連接AM、BM,如下圖2所示,

∵∠APD=120°,PM=PA,
∴∠APM=60°,
∴△APM是等邊三角形,
∴AM=AP,∠PAM=60°,
∴DM=PD+PA,
∵△ABC是等邊三角形,
∴AB=AC,∠BAC=60°,
∴∠MAP=∠BAC,
∴∠MAP﹣∠BAP=∠BAC﹣∠BAP,
即∠MAB=∠PAC,
在△AMB和△APC中,

∴△AMB≌△APC(SAS)
∴BM=PC,
∵在△BDM中,DM+BM>BD,DM=PD+PA,
∴PA+PD+PC>BD.
(3)如下圖2所示,

由(2)知△AMB≌△APC,
∴MB=PC,∠AMB=∠APC,
∵∠CPD=30°,AP=4,CP=5,DP=8,∠APD=120°,∠AMP=60°,
∴MB=5,∠AMB=∠APC=∠APD+∠CPD=120°+30°=150°,
∴∠BMD=∠AMB﹣∠AMP=90°,
∵M(jìn)D=MP+PD=4+8=12,MB=5,
∴BD==13,
故答案為:13.

【解析】(1)先寫出線段BP、PC、AP之間的數(shù)量關(guān)系,然后根據(jù)猜想作出合適的輔助線,畫出相應(yīng)的圖形,找出所求數(shù)量關(guān)系需要的條件即可;
(2)要證明PA+PD+PC>BD,只需要作輔助線延長DP到M使得PM=PA,連接AM、BM,畫出相應(yīng)的圖形,根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊即可證明結(jié)論;
(3)要求BD的長,根據(jù)(2)中得到的結(jié)論和題意可以得到∠BMD=90°,BM的長,MD的長,然后根據(jù)勾股定理即可求得BD的長,本題得以解決.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】求1+2+22+23+…+22016的值,可設(shè)S=1+2+22+23+…+22016 , 于是2S=2+22+23+…+22017 , 因此2S﹣S=22017﹣1,所以S=22017﹣1.我們把這種求和方法叫錯(cuò)位相減法.仿照上述的思路方法,計(jì)算出1+5+52+53+…+52016的值為( )
A.52017﹣1
B.52016﹣1
C.
D.

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X

﹣1

0

1

3

y

﹣1

3

5

3

下列結(jié)論:
(1)ac<0;
(2)當(dāng)x>1時(shí),y的值隨x值的增大而減。
(3)3是方程ax2+(b﹣1)x+c=0的一個(gè)根;
(4)當(dāng)﹣1<x<3時(shí),ax2+(b﹣1)x+c>0.
其中正確的個(gè)數(shù)為( 。
A.4個(gè)
B.3個(gè)
C.2個(gè)
D.1個(gè)

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(2)并由此計(jì)算:

2+4+6+8+…+50;

52+54+56+…+100.

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(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上時(shí),其他條件不變,請(qǐng)直接寫出CF,BC,CD三條線段之間的關(guān)系;

(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的反向延長線上時(shí),且點(diǎn)A,F(xiàn)分別在直線BC的兩側(cè),其他條件不變;

①請(qǐng)直接寫出CF,BC,CD三條線段之間的關(guān)系;

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