Question

【題目】如圖1，已知拋物線交y軸于點(diǎn)A（0，4），交x軸于點(diǎn)B（4，0）、C，點(diǎn)P是拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線PQ，過點(diǎn)A作于點(diǎn)Q，連接AP（AP不平行x軸）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)P在拋物線上運(yùn)動，若∽（點(diǎn)P與點(diǎn)C對應(yīng)），求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）如圖2，若點(diǎn)P位于拋物線的對稱軸的右側(cè)，將沿AP對折，點(diǎn)Q的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)落在x軸上時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為或；（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為或

【解析】

（1）根據(jù)待定系數(shù)法解答即可；

（2）先求出點(diǎn)C坐標(biāo)，由∽可得，于是設(shè)，，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)Q下方時，則，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)Q上方時，則，分別代入拋物線的解析式，求出k后即得點(diǎn)P坐標(biāo)；

（3）設(shè)，當(dāng)點(diǎn)落在x軸上，延長QP交x軸于H，如圖，則PQ可用含m的代數(shù)式表示，易證，則由相似三角形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)可得與m的關(guān)系式，從而可得與m的關(guān)系式，在中，利用勾股定理即可列出關(guān)于m的方程，解方程即可求出m，進(jìn)一步即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解：（1）把，分別代入，

得：，解得：，，

∴拋物線解析式為；

（2）如圖1，當(dāng)時，，解得，，∴；

∵∽，∴，

∴，即，

設(shè)，，

當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)Q下方時，可得，

∴，

解得：，（舍去），此時，

當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)Q上方時，則，

∴，

解得：，（舍去），此時；

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或；

（3）設(shè)，

當(dāng)點(diǎn)落在x軸上，延長QP交x軸于H，如圖，

則，

∵沿AP對折，點(diǎn)Q的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，

∴，，，

∵，，

∴，

∴，

∴，即，解得：，

∴，

在中，由勾股定理得：，

整理得：，解得，，

此時P點(diǎn)坐標(biāo)為或；

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．