【題目】已知:如圖,在菱形中,,.點為邊上的一個動點(與點、不重合),,與邊相交于點,聯(lián)結(jié)交對角線于點.設(shè),.
(1)求證:是等邊三角形;
(2)求關(guān)于的函數(shù)解析式,并寫出的取值范圍;
(3)點是線段的中點,聯(lián)結(jié),當(dāng)時,求的值.
【答案】(1)見解析;(2)y=(0<x<2);(3).
【解析】
(1)首先由△ABC是等邊三角形,即可得AB=AC,求得∠ACF=∠B=60°,然后利由∠BAC=∠EAF=60°,可證明∠BAE=∠CAF,從而可證得△AEB≌△AFC,即可得AE=AF,證得△AEF是等邊三角形;
(2)過點E作EH⊥AC于點H,過點F作FM⊥AC于點M,先用含x的代數(shù)式表示出HM,然后證明△EGH∽△FGM,得出,從而可用含x的代數(shù)式表示出HG,最后在Rt△EHG中,利用勾股定理可得出x,y之間的關(guān)系;
(3)先用含x的代數(shù)式表示出CG的長,然后證明△COE∽△CGF,得出,從而可得出關(guān)于x的方程,解出x的值即可.
(1)證明:∵四邊形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=AD,∠B=∠D=60°,
∴△ABC,△ACD都是等邊三角形,
∴AB=AC,∠B=∠ACF=60°,
∵∠BAC=∠EAF=60°,
∴∠BAE=∠CAF,
∴△BAE≌△CAF(ASA),
∴AE=AF,又∠EAF=60°,
∴△AEF為等邊三角形.
(2)解:過點E作EH⊥AC于點H,過點F作FM⊥AC于點M,
∵∠ECH=60°,∴CH=,EH=x,
∵∠FCM=60°,由(1)知,CF=BE=2-x,∴CM=(2-x),FM=(2-x),
∴HM=CH-CM=-(2-x)=x-1.
∵∠EHG=∠FMG=90°,∠EGH=∠FGM,
∴△EGH∽△FGM,∴,∴,
∴,∴HG=.
在Rt△EHG中,EG2=EH2+HG2,
∴y2=(x)2+[]2,∴y2=,∴y=(舍去負(fù)值),
故y關(guān)于x的解析式為y=(0<x<2).
(3)解:如圖,
∵O為AC的中點,∴CO=AC=1.
∵EO=EG,EH⊥OC,∴OH=GH,∠EOG=∠EGO,∴∠CGF=∠EOG.
∵∠ECG=60°,EC=x,∴CH=,∴OH=GH=OC-CH=1-,∴OG=2OH=2-x,
∴CG=OC-OG=x-1.
∵∠CGF=∠EOC,∠ECO=∠GCF=60°,
∴△COE∽△CGF,
∴,∴,整理得x2=2,
∴x=(舍去負(fù)值),經(jīng)檢驗x是原方程的解.
故x的值為.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線交軸于,兩點,交軸于點.直線經(jīng)過點,.
(1)求拋物線的解析式;
(2)過點的直線交直線于點.
①當(dāng)時,過拋物線上一動點(不與點,重合),作直線的平行線交直線于點,若以點,,,為頂點的四邊形是平行四邊形,求點的橫坐標(biāo);
②連接,當(dāng)直線與直線的夾角等于的倍時,請直接寫出點的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,點D是AB延長線上的一點,點C在⊙O上,且AC=CD,∠ACD=120°.
(1)求證:CD是⊙O的切線;
(2)若⊙O的半徑為3,求圖中陰影部分的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,菱形的邊長為,點是邊上一動點(不與點重合),過點作交于點連接當(dāng)是等腰三角形時,的長等于 __________________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】新冠肺炎疫情發(fā)生以來,專家給出了很多預(yù)防建議.為普及預(yù)防措施,某校組織了由八年級800名學(xué)生參加的“防新冠”知識競賽.李老師為了了解學(xué)生的答題情況,從中隨機(jī)抽取了部分同學(xué)的成績作為樣本,把成績按優(yōu)秀、良好、及格、不及格4個級別進(jìn)行統(tǒng)計,并繪制成了如圖的條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖(部分信息未給出).
請根據(jù)以上提供的信息,解答下列問題:
(1)求被抽取的部分學(xué)生的人數(shù);
(2)請補全條形統(tǒng)計圖;
(3)求出扇形統(tǒng)計圖中表示良好級別的扇形的圓心角度數(shù);
(4)請估計八年級的800名學(xué)生中達(dá)到良好和優(yōu)秀的總?cè)藬?shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠BAC=90°,點O在BC上,以線段OC的長為半徑的⊙O與AB相切于點D,分別交BC、AC于點E、F,連接ED并延長,交CA的延長線于點G.
(1)求證:∠DOC=2∠G.
(2)已知⊙O的半徑為3.
①若BE=2,則DA= .
②當(dāng)BE= 時,四邊形DOCF為菱形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】A、B兩地之間有一修理廠C,一日小海和王陸分別從A、B兩地同時出發(fā)相向而行,王陸開車,小海騎摩托.二人相遇時小海的摩托車突然出故障無法前行,王陸決定將小海和摩托車一起送回到修理廠C后再繼續(xù)按原路前行,王陸到達(dá)A地后立即返回B地,到B地后不再繼續(xù)前行,等待小海前來(裝載摩托車時間和掉頭時間忽略不計),整個行駛過程中王陸速度不變,而小海在修理廠花了十分鐘修好摩托車,為了趕時間,提速前往目的地B,小海到達(dá)B地后也結(jié)束行程,若圖象表示的是小海與王陸二人到修理廠C的距離和y(km)與小海出行時間之間x(h)的關(guān)系,則當(dāng)王陸第二次與小海在行駛中相遇時,小海離目的地B還有_____km.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖坐標(biāo)系中有△AOB,A(0,3),B(4,0),在 y 軸上有一點 P,當(dāng)2∠BPO= ∠BAO 時,點 P 的坐標(biāo)為_____.
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