Question

【題目】如圖，已知拋物線C1：y=a(x+2)2-5的頂點(diǎn)為P，與x軸相交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是1．

(1) 求P點(diǎn)坐標(biāo)及a的值；

(2)如圖（1），

拋物線C2與拋物線C1關(guān)于x軸對(duì)稱，將拋物線C2向右平移，平移后的拋物線記為C3，C3的頂點(diǎn)為M，當(dāng)點(diǎn)P、M關(guān)于點(diǎn)B成中心對(duì)稱時(shí)，求C3的解析式；

(3) 如圖（2），

點(diǎn)Q是x軸正半軸上一點(diǎn)，將拋物線C1繞點(diǎn)Q旋轉(zhuǎn)180°后得到拋物線C4．拋物線C4的頂點(diǎn)為N，與x軸相交于E、F兩點(diǎn)（點(diǎn)E在點(diǎn)F的左邊），當(dāng)以點(diǎn)P、N、F為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）頂點(diǎn)P的為（-2，-5），a＝

（2）拋物線C3的表達(dá)式為 y=- (x-4)2+5

（3）當(dāng)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（，0）或（，0）時(shí)，以點(diǎn)P、N、F為頂點(diǎn)

的三角形是直角三角形．

【解析】

(1)把B（1,0）代入y=a(x+2)2-5，即可解得a值；

（2）連接PM，作PH⊥x軸于H，作MG⊥x軸于G,根據(jù)P、M關(guān)于點(diǎn)B成中心對(duì)稱，證明△PBH≌△MBG，即可求出MG＝PH＝5，BG＝BH＝3，得到頂點(diǎn)M的坐標(biāo)，再根據(jù)拋物線C2由C1關(guān)于x軸對(duì)稱得到，拋物線C3由C2平移得到，即可寫出拋物線C3的表達(dá)式

（3）根據(jù)拋物線C4由C1繞點(diǎn)x軸上的點(diǎn)Q旋轉(zhuǎn)180°得到，點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為5，設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（m,5），作PH⊥x軸于H，作NG⊥x軸于G，作PK⊥NG于K，可求出EF＝AB＝2BH＝6，FG＝3，點(diǎn)F坐標(biāo)為（m+3，0），H坐標(biāo)為（2，0），K坐標(biāo)為（m，-5），

根據(jù)勾股定理得PN2＝NK2+PK2＝m2+4m+104，PF2＝PH2+HF2＝m2+10m+50，NF2＝52+32＝34，再分三種情況討論即可.

(1)由拋物線C1：y=a(x+2)2-5，得

頂點(diǎn)P的為（-2，-5）

∵點(diǎn)B（1，0）在拋物線C1上

∴0= a(1+2)2-5

解得，a＝

(2)連接PM，作PH⊥x軸于H，作MG⊥x軸于G

∵點(diǎn)P、M關(guān)于點(diǎn)B成中心對(duì)稱

∴PM過(guò)點(diǎn)B，且PB＝MB

∴△PBH≌△MBG

∴MG＝PH＝5，BG＝BH＝3

∴頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（4，5）

∵拋物線C2由C1關(guān)于x軸對(duì)稱得到，拋物線C3由C2平移得到

∴拋物線C3的表達(dá)式為 y=- (x-4)2+5

（3）∵拋物線C4由C1繞點(diǎn)x軸上的點(diǎn)Q旋轉(zhuǎn)180°得到

∴頂點(diǎn)N、P關(guān)于點(diǎn)Q成中心對(duì)稱

由（2）得點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為5

設(shè)點(diǎn)N坐標(biāo)為（m，5）

作PH⊥x軸于H，作NG⊥x軸于G，作PK⊥NG于K

∵旋轉(zhuǎn)中心Q在x軸上

∴EF＝AB＝2BH＝6

∴FG＝3，點(diǎn)F坐標(biāo)為（m+3，0），H坐標(biāo)為（2，0），K坐標(biāo)為（m，-5），

根據(jù)勾股定理得

PN2＝NK2+PK2＝m2+4m+104

PF2＝PH2+HF2＝m2+10m+50

NF2＝52+32＝34

①當(dāng)∠PNF＝90時(shí)，PN2+ NF2＝PF2，解得m＝，

∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為（，0）

②當(dāng)∠PFN＝90時(shí)，PF2+ NF2＝PN2，解得m＝，∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為（，0）

③∵PN＞NK＝10＞NF，∴∠NPF≠90

綜上所得，當(dāng)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（，0）或（，0）時(shí)，以點(diǎn)P、N、F為頂點(diǎn)

的三角形是直角三角形．