Question

【題目】如圖，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，的平分線與軸相較于點(diǎn)，、兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱．

（1）一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿適當(dāng)?shù)穆窂竭\(yùn)動(dòng)到直線上的點(diǎn)，再沿適當(dāng)?shù)穆窂竭\(yùn)動(dòng)到點(diǎn)處．當(dāng)的運(yùn)動(dòng)路徑最短時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)及點(diǎn)所走最短路徑的長(zhǎng)．

（2）點(diǎn)沿直線水平向右運(yùn)動(dòng)得點(diǎn)，平面內(nèi)是否存在點(diǎn)使得以、、、為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)所走最短路徑的長(zhǎng)為；（2）存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．

【解析】

（1）先根據(jù)直線的解析式求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，再根據(jù)直角三角形和角平分線以及對(duì)稱的性質(zhì)得出點(diǎn)C、D、E的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法可求出直線BC的解析式，最后根據(jù)對(duì)稱性質(zhì)確定最短路徑，求出直線的解析式，聯(lián)立兩個(gè)函數(shù)的解析式即可得；

（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)，分兩種情況：BD為邊和BD為對(duì)角線，然后分別利用菱形的性質(zhì)、兩點(diǎn)之間的距離公式列出等式求解即可．

（1）對(duì)于

當(dāng)時(shí)，，解得，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為

當(dāng)時(shí)，，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為

點(diǎn)為線段的中點(diǎn)

由點(diǎn)A、B的坐標(biāo)得：

在中，，即

平分

在中，，即

解得

、兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱

設(shè)直線BC的解析式為

將點(diǎn)代入得，解得

則直線BC的解析式為

如圖，作點(diǎn)D關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)，連接ED交BC于點(diǎn)F

由對(duì)稱的性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線段最短可知，點(diǎn)P所走最短路徑的長(zhǎng)為的長(zhǎng)

由對(duì)稱的性質(zhì)可知，

過點(diǎn)作軸于點(diǎn)G

在和中，

由兩點(diǎn)之間的距離公式得：

設(shè)直線的解析式為

將點(diǎn)代入得，解得

則直線的解析式為

聯(lián)立，解得

則點(diǎn)的坐標(biāo)為；

（2）存在，點(diǎn)的坐標(biāo)的求解過程如下：

，點(diǎn)沿直線水平向右運(yùn)動(dòng)得點(diǎn)

可設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，且

由菱形的性質(zhì)，分以下兩種情況：

①若BD為邊

由菱形的定義得：

由兩點(diǎn)之間的距離公式得：

解得或（舍去）

則點(diǎn)的坐標(biāo)為

②若BD為對(duì)角線

由菱形的定義得：

由兩點(diǎn)之間的距離公式得：

解得

則點(diǎn)的坐標(biāo)為

綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．