Question

【題目】如圖，在△ABC中，已知AB＝BC＝CA＝4cm，AD⊥BC于D，點(diǎn)P，Q分別從BC兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，其中點(diǎn)P沿BC向終點(diǎn)C運(yùn)動．速度為1cm/s；點(diǎn)Q沿CA、AB向終點(diǎn)B運(yùn)動，速度為2cm/s，設(shè)它們運(yùn)動的時(shí)間為x（s）．

（1）求x為何值時(shí)，PQ⊥AC；

（2）設(shè)△PQD的面積為y（cm2），當(dāng)0＜x＜2時(shí)，求y與x的函數(shù)關(guān)系式；

（3）探索以PQ為直徑的圓與AC的位置關(guān)系，請寫出相應(yīng)位置關(guān)系的x的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）x＝；（2）y；（3）當(dāng)x＝或時(shí)，以PQ為直徑的圓與AC相切，當(dāng)0≤x＜或＜x＜或＜x≤4時(shí)，以PQ為直徑的圓與AC相交．

【解析】

（1）若使PQ⊥AC，則當(dāng)Q在AC上，根據(jù)路程＝速度×時(shí)間表示出CP和CQ的長，再根據(jù)含30度的直角三角形的性質(zhì)列方程求解；

（2）過點(diǎn)Q作QN⊥BC于N，利用三角函數(shù)求出QN，然后表示出DP，再根據(jù)三角形面積公式進(jìn)行求解；

（3）可分點(diǎn)Q在AC和AB上兩種情況討論：當(dāng)Q在AC時(shí)，根據(jù)（1）即可解決問題；當(dāng)Q在AB上時(shí)，設(shè)以PQ為直徑的圓與AC相切于點(diǎn)G，連接O′G，易證PQ＝2O′G＝QE＋PF＝，過點(diǎn)Q作QN⊥BC于N，在Rt△BNQ中，運(yùn)用三角函數(shù)可得QN＝，BN＝4x，則有PN＝2x4，然后在Rt△QNP中，運(yùn)用勾股定理即可解決問題．

解：（1）當(dāng)Q在AB上時(shí)，顯然PQ不垂直于AC，

當(dāng)Q在AC上時(shí)，由題意得，BP＝x，CQ＝2x，則PC＝4x，

∵AB＝BC＝CA＝4，

∴∠C＝60°，

若PQ⊥AC，則有∠QPC＝30°，

∴PC＝2CQ，即4x＝2×2x，

∴x＝，

即當(dāng)x＝時(shí)，PQ⊥AC；

（2）如圖，當(dāng)0＜x＜2時(shí)，P在BD上，Q在AC上，過點(diǎn)Q作QN⊥BC于N，

∵∠C＝60°，QC＝2x，

∴QN＝QC·sin60°＝，

∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴BD＝CD＝BC＝2，

∴DP＝2x，/span>

∴y＝PDQN＝；

（3）顯然，不存在x的值，使得以PQ為直徑的圓與AC相離，

①當(dāng)點(diǎn)Q在AC上時(shí)，由（1）可知，當(dāng)x＝時(shí)，以PQ為直徑的圓與AC相切；

②當(dāng)點(diǎn)Q在AB時(shí)，如圖，

設(shè)以PQ為直徑的圓與AC相切于點(diǎn)G，圓心為O′，連接O′G，則有O′G⊥AC，

過點(diǎn)Q作QE⊥AC于E，過點(diǎn)P作PF⊥AC于F，則QE∥O′G∥PF，

∵QO′＝PO′，

∴EG＝FG，

∴O′G＝（QE＋PF），

∴PQ＝2O′G＝QE＋PF，

由題意可得，CP＝4x，AQ＝2x4，

∴QE＝AQsin60°＝，PF＝PCsin60°＝，

∴PQ＝，

過點(diǎn)Q作QN⊥BC于N，

在Rt△BNQ中，QN＝BQsin60°＝，BN＝BQcos60°＝（82x）＝4x，

∴PN＝x（4x）＝2x4，

在Rt△QNP中，根據(jù)勾股定理可得：，

整理可得：25x2160x＋256＝0，

解得：x1＝x2＝，

綜上所述，當(dāng)x＝或時(shí)，以PQ為直徑的圓與AC相切，當(dāng)0≤x＜或＜x＜或＜x≤4時(shí)，以PQ為直徑的圓與AC相交．