【題目】如圖,平面直角坐標(biāo)系中有三點(diǎn)。
(1)連接,若
①線段的長(zhǎng)為 (直接寫出結(jié)果)
②如圖1,點(diǎn)為軸負(fù)半軸上一點(diǎn),點(diǎn)為線段上一點(diǎn),連接作,且,當(dāng)點(diǎn)從向運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)不變,點(diǎn)隨之運(yùn)動(dòng),連接,求線段的中點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng);
(2)如圖2,作,連接并延長(zhǎng),交延長(zhǎng)線于于.若,且,在平面內(nèi)是否存在點(diǎn),使以為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)① ② (2)
【解析】
(1)①由兩點(diǎn)的距離公式可得出答案;
②分別作出點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A,B時(shí)的等腰直角三角形DCE,畫出運(yùn)動(dòng)路徑如圖,求出E1,E2的坐標(biāo),即可求出E1E2的長(zhǎng),則答案可求出;
(2)連接BH,證明∠HBA=45°,過點(diǎn)H作HN⊥AB,求出H點(diǎn)坐標(biāo),再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可求出M點(diǎn)坐標(biāo).
(1)①∵A(3,0),C(4,1),
∴AC=.
故答案為:.
②分別作出點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A,B時(shí)的等腰直角三角形DCE,畫出運(yùn)動(dòng)路徑如圖,
∵C(4,1),△CAE1為等腰直角三角形,A,D重合,A(-3,0)
∴CD=AC==AE1
∴CE1=
∵CE1∥x軸
∴E1(2,1),
分別過點(diǎn)C,E2作x軸的垂線,垂足分別為M,N,
∵∠CBM=∠BE2N,∠CMB=∠BNE2,BC=BE2,
∴△CMB≌△BNE2(AAS),
∴E2N=BM=5,CM=BN=1,
∴E2(2,5),
∴E1E2=.
∵Q1Q2為△PE1E2的中位線,
∴線段EP的中點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)Q1Q2=E1E2=2.
(2)如圖,連接BH,
∵AF⊥AC,GH⊥CF,
又A(3,0),B(1,0),BF=BG,
∴BH=GF=AB=4,
又∵∠C=67.5°,
∴∠AGB+∠CFB=112.5°,
∴∠ABG+∠HBF=360°2(∠AGB+∠CFB)=135°,
即∠HBA=45°,
過點(diǎn)H作HN⊥AB,∴△BHN是等腰直角三角形,
∴HN=BN,
∴BH==HN
∴HN=BN=BH=2,
∴H(12,2),
∵A(3,0),B(1,0),
如圖,四邊形ABM1H是平行四邊形時(shí),A平移至B的方式是:向右平移4個(gè)單位,
∴H點(diǎn)向右平移4個(gè)單位得到M1;
四邊形ABH M2是平行四邊形時(shí),B平移至A的方式是:向左平移4個(gè)單位,
∴H點(diǎn)向右平移4個(gè)單位得到M2;
四邊形AHBM3是平行四邊形時(shí),H平移至B的方式是:向右平移2個(gè)單位,向下平移2個(gè)單位,
∴A點(diǎn)向右平移2個(gè)單位,向下平移2個(gè)單位M3;
∴使以B,A,H,M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形的點(diǎn)M的坐標(biāo)為.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】綜合與實(shí)踐
問題背景:
我們知道,三角形的中位線平行于三角形的第三邊,并且等于第三邊的一半,如何證明三角形中位線定理呢?
已知:如圖1,在中,分別是的中點(diǎn).
求證:
問題中既要證明兩條線段所在的直線平行,又要證明其中一條線段的長(zhǎng)等于另一線段長(zhǎng)的一半.所以可以用“倍長(zhǎng)法”將延長(zhǎng)一倍:延長(zhǎng)到,使得,連接這樣只需證明,且.由于是的中點(diǎn),容易證明四邊形、四邊形是平行四邊形,證明...
問題解決:
上述材料中“倍長(zhǎng)法”體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想主要是_____. (填入選項(xiàng)前的字母代號(hào)即可)
A.?dāng)?shù)形結(jié)合思想 B.轉(zhuǎn)化思想 C.分類討論思想 D.方程思想
證明四邊形是平行四邊形的依據(jù)是
反思交流:
“智慧小組”在證明中位線定理時(shí),在圖1的基礎(chǔ)上追加了如上輔助線作法:如圖3,分別過點(diǎn)作的垂線,垂足分別為,..
請(qǐng)你根據(jù)“智慧小組”添加的輔助線,證明三角形的中位線定理.
方法遷移:
如圖4、四邊形和都是正方形,是的中點(diǎn).求證:
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知DC∥FP,∠1=∠2,∠FED=28,∠AGF=80,FH平分∠EFG.
(1)說明:DC∥AB;
(2)求∠PFH的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖①,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,AB=4,點(diǎn)D在直線BC上,E在AC上,且AC=CD,DE=AB.
(1)如圖②,將△ECD沿CB方向平移,使點(diǎn)E落在AB上,得△E1C1D1,求平移的距離;
(2)如圖③,將△ECD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),使點(diǎn)E落在AB上,得△E2CD2,求旋轉(zhuǎn)角∠DCD2的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(問題)如圖①,點(diǎn)D是∠ABC的角平分線BP上一點(diǎn),連接AD,CD,若∠A與∠C互補(bǔ),則線段AD與CD有什么數(shù)量關(guān)系?
(探究)
探究一:如圖②,若∠A=90°,則∠C=180°﹣∠A=90°,即AD⊥AB,CD⊥BC,又因?yàn)?/span>BD平分∠ABC,所以AD=CD,理由是: .
探究二:若∠A≠90°,請(qǐng)借助圖①,探究AD與CD的數(shù)量關(guān)系并說明理由.
[理論]點(diǎn)D是∠ABC的角平分線BP上一點(diǎn),連接AD,CD,若∠A與∠C互補(bǔ),則線段AD與CD的數(shù)量關(guān)系是 .
[拓展]已知:如圖③,在△ABC中,AB=AC,∠A=100°,BD平分∠ABC.
求證:BC=AD+BD
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】拋物線與x軸交于A,B兩點(diǎn)(A在B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C(0,-3),點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱.
(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上的一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)△PAC的周長(zhǎng)最小時(shí),求出點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)若點(diǎn)Q在x軸正半軸上,且∠ADQ=∠DAC,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】正方形ABCD內(nèi)接于⊙O,如圖所示,在劣弧上取一點(diǎn)E,連接DE、BE,過點(diǎn)D作DF∥BE交⊙O于點(diǎn)F,連接BF、AF,且AF與DE相交于點(diǎn)G,求證:
(1)四邊形EBFD是矩形;
(2)DG=BE.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,菱形OABC的OC邊落在x軸上,∠AOC=60°,OA=60.若菱形OABC內(nèi)部(邊界及頂點(diǎn)除外)的一格點(diǎn)P(x,y)滿足:x2﹣y2=90x﹣90y,就稱格點(diǎn)P為“好點(diǎn)”,則菱形OABC內(nèi)部“好點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為( 。
(注:所謂“格點(diǎn)”,是指在平面直角坐標(biāo)系中橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn).)
A. 145 B. 146 C. 147 D. 148
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,AC⊥AB,AB=2,且AO∶BO=2∶3.
(1)求AC的長(zhǎng);
(2)求ABCD的面積.
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