Question

【題目】綜合與實(shí)踐

問(wèn)題背景：

我們知道，三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半，如何證明三角形中位線定理呢?

已知：如圖1，在中，分別是的中點(diǎn)．

求證：

問(wèn)題中既要證明兩條線段所在的直線平行，又要證明其中一條線段的長(zhǎng)等于另一線段長(zhǎng)的一半．所以可以用“倍長(zhǎng)法”將延長(zhǎng)一倍：延長(zhǎng)到，使得，連接這樣只需證明，且．由于是的中點(diǎn)，容易證明四邊形、四邊形是平行四邊形，證明．．．

問(wèn)題解決：

上述材料中“倍長(zhǎng)法”體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想主要是_____． (填入選項(xiàng)前的字母代號(hào)即可)

A．?dāng)?shù)形結(jié)合思想 B．轉(zhuǎn)化思想 C．分類(lèi)討論思想 D．方程思想

證明四邊形是平行四邊形的依據(jù)是

反思交流：

“智慧小組”在證明中位線定理時(shí)，在圖1的基礎(chǔ)上追加了如上輔助線作法：如圖3，分別過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足分別為，．．

請(qǐng)你根據(jù)“智慧小組”添加的輔助線，證明三角形的中位線定理．

方法遷移：

如圖4、四邊形和都是正方形，是的中點(diǎn)．求證：

Answer 1

【答案】（1）B；（2）一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；（3）詳見(jiàn)解析；（4）詳見(jiàn)解析

【解析】

（1）根據(jù)解題方法知，將證明“”的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為矩形的性質(zhì)的問(wèn)題；

（2）由平行四邊形的判定定理填空；

（3）利用“”證明，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得，，同理，，則．然后判斷出四邊形是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)即可得到答案；

（4）如圖4，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，連接、．易證，四邊形是平行四邊形，結(jié)合該平行四邊形和圖中正方形的性質(zhì)，證得，故，所以．

（1）根據(jù)根據(jù)上述材料中“倍長(zhǎng)法”體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想主要是轉(zhuǎn)化思想．

故選：；

（2）證明四邊形是平行四邊形的依據(jù)是：一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．

故答案為：一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形

（3）證明：如圖3，

在和中，

，

∴，

∴，，

同理可得，，

∴，

又∵，

∴，

∴四邊形是矩形，

∴，

∴．

如圖4，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得連接，，

是的中點(diǎn)，

∴，

∴四邊形是平行四邊形，

∴，

∴，

四邊形和都是正方形，

∴

∴

∴

在和中

，

∴，

∴，