【題目】(問題)如圖①,點D是∠ABC的角平分線BP上一點,連接AD,CD,若∠A與∠C互補,則線段AD與CD有什么數(shù)量關(guān)系?
(探究)
探究一:如圖②,若∠A=90°,則∠C=180°﹣∠A=90°,即AD⊥AB,CD⊥BC,又因為BD平分∠ABC,所以AD=CD,理由是: .
探究二:若∠A≠90°,請借助圖①,探究AD與CD的數(shù)量關(guān)系并說明理由.
[理論]點D是∠ABC的角平分線BP上一點,連接AD,CD,若∠A與∠C互補,則線段AD與CD的數(shù)量關(guān)系是 .
[拓展]已知:如圖③,在△ABC中,AB=AC,∠A=100°,BD平分∠ABC.
求證:BC=AD+BD
【答案】【探究】探究一:角平分線上的點到角的兩邊的距離相等;探究二: AD=CD,理由詳見解析;【理論】AD=CD;【拓展】詳見解析
【解析】
探究一:根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理解答;
探究二:作DF⊥BC于F,作DE⊥AB交BA的延長線于E,證明△DAE≌△DCF,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明結(jié)論;
[理論]根據(jù)探究結(jié)果得到答案;
[拓展]在BC上取一點E,使BE=BD,利用等腰三角形的性質(zhì),結(jié)合前面的結(jié)論得到DE=AD,通過證明得出CE=DE=AD即可證明結(jié)論.
解:探究一:∵BD平分∠ABC,AD⊥AB,CD⊥BC,
∴AD=CD,
理由是:角平分線上的點到角的兩邊的距離相等,
故答案為:角平分線上的點到角的兩邊的距離相等;
探究二:AD=CD.
理由:作DF⊥BC于F,作DE⊥AB交BA的延長線于E,
∵BD平分∠ABC,DE⊥AB,DF⊥BC,
∴DE=DF,
∵∠BAD+∠DAE=180°,∠BAD+∠C=180°,
∴∠DAE=∠C,
在△DAE和△DCF中,
,
∴△DAE≌△DCF(AAS)
∴AD=CD,
故答案為:AD=CD;
[理論]綜上所述,點D是∠ABC的角平分線BP上一點,連接AD,CD,若∠A與∠C互補,則線段AD與CD的數(shù)量關(guān)系是AD=CD,
故答案為:AD=CD;
[拓展]在BC上取一點E,使BE=BD,
∴∠BDE=∠BED,
∵在△ABC中,AB=AC,
∴∠ABC=∠C=(180°-∠A)=40°,
∵BD平分∠ABC,
∴∠EBD=∠ABC=20°,
∴∠BDE=∠BED=(180°-∠EBD)=80°,
∴∠BED+∠A=180°,
∴由前面的結(jié)論,DE=AD,
又∵∠CDE=∠BED-∠C=40°=∠C,
∴CE=DE=AD,
∴BC=BE+EC=AD+BD,
即BC=AD+BD.
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【題目】先閱讀下列一段文字,再解答問題:
已知在平面內(nèi)有兩點,,其兩點間的距離公式為;同時,當(dāng)兩點所在的直線在坐標(biāo)軸上或平行于坐標(biāo)軸或垂直于坐標(biāo)軸時,兩點間距離公式可簡化為或.
(1)已知點A(2,4),B(-2,1),則AB=__________;
(2)已知點C,D在平行于y軸的直線上,點C的縱坐標(biāo)為4,點D的縱坐標(biāo)為-2,則CD=__________;
(3)已知點P(3,1)和(1)中的點A,B,判斷線段PA,PB,AB中哪兩條線段的長是相等的?并說明理由.
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【題目】周末,小亮一家在東昌湖游玩,媽媽在湖心島岸邊P處觀看小亮與爸爸在湖中劃船(如圖).小船從P處出發(fā),沿北偏東60°劃行200米到達(dá)A處,接著向正南方向劃行一段時間到達(dá)B處.在B處小亮觀測媽媽所在的P處在北偏西37°方向上,這時小亮與媽媽相距多少米(精確到米)?(參考數(shù)據(jù):sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75,≈1.41,≈1.73)
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【題目】已知拋物線y=﹣+bx+c與y軸交于點C,與x軸的兩個交點分別為A(﹣4,0),B(1,0).
(1)求拋物線的解析式;
(2)已知點P在拋物線上,連接PC,PB,若△PBC是以BC為直角邊的直角三角形,求點P的坐標(biāo);
(3)已知點E在x軸上,點F在拋物線上,是否存在以A,C,E,F(xiàn)為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,請直接寫出點E的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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【題目】已知.
(1)如圖1,、分別平分、.試說明:;
(2)如圖2,若,,、分別平分、,那么 (只要直接填上正確結(jié)論即可).
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【題目】如圖,平面直角坐標(biāo)系中有三點。
(1)連接,若
①線段的長為 (直接寫出結(jié)果)
②如圖1,點為軸負(fù)半軸上一點,點為線段上一點,連接作,且,當(dāng)點從向運動時,點不變,點隨之運動,連接,求線段的中點的運動路徑長;
(2)如圖2,作,連接并延長,交延長線于于.若,且,在平面內(nèi)是否存在點,使以為頂點的四邊形是平行四邊形,若存在,請求出點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖1,點為直線上一點,過點作射線,使,將一把直角三角尺的直角頂點放在點處,一邊在射線上,另一邊在直線的下方,其中.
(1)將圖1中的三角尺繞點順時針旋轉(zhuǎn)至圖2,使一邊在的內(nèi)部,且恰好平分,求的度數(shù);
(2)將圖1中三角尺繞點按每秒10的速度沿順時針方向旋轉(zhuǎn)一周,旋轉(zhuǎn)過程中,在第 秒時,邊恰好與射線平行;在第 秒時,直線恰好平分銳角.
(3)將圖1中的三角尺繞點順時針旋轉(zhuǎn)至圖3,使在的內(nèi)部,請?zhí)骄?/span>與之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.
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【題目】對于實數(shù)a,我們規(guī)定:用符號表示不大于的最大整數(shù),稱為a的根整數(shù),例如:,=3.
(1)仿照以上方法計算:=______;=_____.
(2)若,寫出滿足題意的x的整數(shù)值______.
如果我們對a連續(xù)求根整數(shù),直到結(jié)果為1為止.例如:對10連續(xù)求根整數(shù)2次 =1,這時候結(jié)果為1.
(3)對100連續(xù)求根整數(shù),____次之后結(jié)果為1.
(4)只需進(jìn)行3次連續(xù)求根整數(shù)運算后結(jié)果為1的所有正整數(shù)中,最大的是____.
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【題目】如圖,直線的解析式為,它與坐標(biāo)軸分別交于A,B兩點.
(1)求出點A的坐標(biāo);
(2)動點C從y軸上的點出發(fā),以每秒1個單位長度的速度向y軸負(fù)半軸運動,求出點C運動的時間t,使得為等腰三角形.
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