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【題目】已知,如圖,垂直AB=6,Δ是等邊三角形,點在射線上運動,以為邊向右上方作等邊Δ,射線與射線交于點.

1)如圖1,當點運動到與點成一條直線時, (填長度),∠ 度.

2)在圖2中,①求證:∠

②隨著點的運動,∠的度數是否發(fā)生改變?若不變,求出這個角的度數;若改變,說明理由.

【答案】112,60;(2)①證明見詳解;②∠QFC的度數不變,∠QFC=60°;理由見詳解.

【解析】

1)如圖1,根據題意,由等邊三角形的性質得到PQ=AP,∠BAP=ABE=60°,根據三角形的內角和得到∠APB=EBP=30°,根據直角三角形的性質得到AP=2AB=12BE=PE,證得QFAP,即可得到結論;

2)①根據等邊三角形的性質可以得出AB=AE,AP=AQ,由等式的性質就可以得出∠BAP=EAQ,就可以得出結論;

②根據三角形的外角等于不相鄰的兩內角的和,證明∠BAP=EAQ,進而得到ABP≌△AEQ,證得∠AEQ=ABP=90°,則∠BEF=180°-AEQ-AEB=180°-90°-60°=30°,∠QFC=EBF+BEF

解:(1)如圖1,當點P運動到與A、E成一直線時,

∵△ABE△APQ是等邊三角形,

PQ=AP,∠BAP=ABE=60°,

∵∠ABP=90°

∴∠APB=EBP=30°,

AP=2AB=12,BE=PE,

PQ=AP=12;

PE=AE,

QFAP

∴∠QFC=60°,

故答案為:1260;

2)①如圖2,

∵△ABE△APQ是等邊三角形,

AB=AE,AP=AQ,∠BAE=PAQ=ABE=AEB=60°,

∴∠BAE-PAE=PAQ-PAE,

∴∠BAP=EAQ,

△ABP△AEQ中,

,

∴△ABP≌△AEQSAS),

∴∠AEQ=ABC=90°

②∠QFC的度數不變,∠QFC=60°

由(2)①得∴△ABP≌△AEQSAS

∴∠AEQ=ABP=90°

∴∠BEF=180°-AEQ-AEB=180°-90°-60°=30°,

∴∠QFC=EBF+BEF=30°+30°=60°

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②∠ENI=EMI;

AIFI;

④∠ABI=FBI;

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