【題目】如圖,菱形對(duì)角線的交點(diǎn)是四邊形對(duì)角線的中點(diǎn),四個(gè)頂點(diǎn)、、分別在四邊形的邊、、上.

求證:四邊形是平行四邊形;

如圖若四邊形是矩形,當(dāng)重合時(shí),已知,且菱形的面積是,求矩形的長(zhǎng)與寬.

【答案】(1)見解析;(2)長(zhǎng)為,寬為4

【解析】

(1)根據(jù)菱形的性質(zhì)可得出OA=OC,OD=OB,再由中點(diǎn)的性質(zhì)可得出OF=OH,結(jié)合對(duì)頂角相等即可利用全等三角形的判定定理(SAS)證出AOF≌△COH,從而得出AFCH,同理可得出DHBF,依據(jù)平行四邊形的判定定理即可證出結(jié)論;

(2)設(shè)BD=m(m>0),則AC=2m,結(jié)合菱形的面積為20即可求出m=2,進(jìn)而得出AC、BD的長(zhǎng)度,再由勾股定理即可得出AB的長(zhǎng)度,由四邊形EFGH為矩形即可得出AOB∽△AGC,根據(jù)相似比即可得出,代入數(shù)據(jù),此題得解.

∵點(diǎn)是菱形對(duì)角線、的交點(diǎn),

,

∵點(diǎn)是線段的中點(diǎn),

中,有,

,

同理可得:

∴四邊形是平行四邊形.

設(shè)BD=m,則AC=2m,

S菱形ABCD=ACBD=m2=20,

m=2,

BD=2,AC=4

∵四邊形ABCD為菱形,

OB=BD=,OA=AC=2

AB==5.

∵四邊形EFGH為矩形,

∴∠G=AOB=90°,

∴△AOB∽△AGC,

,

CG=4,AG=8.

∴矩形EFGH的長(zhǎng)為8,寬為4.

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