Question

【題目】在數(shù)學(xué)活動(dòng)中，小明發(fā)現(xiàn)將兩塊不同的等腰直角三角板進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，能得到一組結(jié)論：在其中一塊三角板Rt△ABC，AB＝BC＝4，∠B為直角，將另一塊等腰直角三角板的直角頂點(diǎn)放在斜邊AC的中點(diǎn)O處，將三角板繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，三角板的兩直角邊分別交AB、BC或其延長(zhǎng)線于E、F兩點(diǎn)，如圖①與②是旋轉(zhuǎn)三角板所得圖形的兩種情況．

（1）三角板繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，△OFC是否能成為等腰直角三角形？若能，求出CF；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）三角板繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，線段OE和OF之間有什么數(shù)量關(guān)系？用圖②加以證明；

（3）若將三角板的直角原點(diǎn)放在斜邊上的點(diǎn)P處（如圖③），當(dāng)，PF和PE有怎樣的數(shù)量關(guān)系，證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論．

Answer 1

【答案】（1）CF＝2或CF＝4；（2）OE＝OF，理由詳見(jiàn)解析；（3）PF＝4PE，理由詳見(jiàn)解析.

【解析】

△OFC能成為等腰直角三角形，分∠OFC＝90°和∠COF＝90°兩種情況求FC的長(zhǎng)即可；（2）OE＝OF，連結(jié)OB，CF，根據(jù)已知條件易證OB＝OC、∠EBO=∠OCF=135°、∠EOB＝∠FOC．利用ASA證明△OEB≌△OFC，即可得OE=OF；（3）PF＝4PE，如圖③，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AB于M，PN⊥BC于N，證明△PME∽△PNF，△APM∽△PCN，利用相似三角形的性質(zhì)可得，由此即可求得，結(jié)論得證.

解：（1）△OFC能成為等腰直角三角形，

∵Rt△ABC，AB＝BC＝4，

∴∠C＝45°，

∵△OFC是等腰直角三角形，

∴∠OFC＝90°或∠COF＝90°，

當(dāng)∠OFC＝90°時(shí)，OF⊥BC，

∵∠B＝90°，

∴OF∥AB，

∵點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，

∴點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，

∴CF＝BC＝2，

當(dāng)∠COF＝90°時(shí)，此時(shí)點(diǎn)F和點(diǎn)B重合，CF＝BC＝4，

即：CF＝2或CF＝4；

（2）OE＝OF，

理由：連結(jié)OB，CF，如圖②，

∵AB＝BC，∠ABC＝90°，O點(diǎn)為AC的中點(diǎn)，

∴OB＝AC＝OC，∠BOC＝90°，∠ABO=∠ACB=45°，

∴∠EBO=∠OCF=135°．

∵∠EOF＝90°，

∴∠EOB＝∠FOC．

在△OEB和△OFC中，

，

∴△OEB≌△OFC．

∴OE=OF；

（3）PF＝4PE，如圖③，過(guò)點(diǎn)P作PN⊥AB于N，PM⊥BC于M，

∵∠B＝90°，

∴∠MPN＝90°，

∵∠EPF＝90°，

∴∠EPN＝∠FPM．

∵∠ENP＝∠FMP＝90°，

∴△PNE∽△PMF，

∴ ，

∵△APN和△PCM為等腰直角三角形，

∴△APM∽△PCN，

∴,

∴

∵，

∴，

∴，

即：PF＝4PE．