Question

【題目】如圖所示，△ABC是圓O的內接三角形，過點O作OD⊥AB與點D，連接OA，點E是AC的中點，延長EO交BC于點F．

（1）求證：△CEF∽△ODA．

（2）若，△ABC是不是等腰三角形？并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）是，證明見解析．

【解析】

（1）利用圓周角定理可知∠ECF=∠AOB，再由垂徑定理得到∠AOD=∠AOB，從而證明∠ECF=∠AOD，再由垂徑定理可得∠ODA=∠CEF=90°，由此即可得出結論；

（2）由已知易證△OEC∽△CEF，從而可得∠ECF=∠EOC，再根據圓周角定理證明∠EOC=∠CBA，從而可得∠ECF=∠CBA，由等角對等邊即可得出結論．

證明：（1）連接OB，

∵，

∴∠ECF=∠AOB，

又∵OD⊥AB，OA=OB，

∴∠AOD=∠AOB，

∴∠ECF=∠AOD，

∵OD⊥AB ，

∴∠ODA=90°，

∵E為AC中點 ，

∴OE⊥AC，

∴∠CEF=90°，

∴△CEF∽△ODA．

（2）∵OE·EF=CE2，∠OEC=∠CEF，

∴△OEC∽△CEF，

∴∠ECF=∠EOC，

∵∠EOC=，∠CBA=

∴∠ECF=∠CBA，

∴△ABC是等腰三角形．