Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過A（-1,0）B（4，0），C（0，4）三點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）將（1）中的拋物線向下平移個(gè)長(zhǎng)度單位，再向左平移h(h＞0)個(gè)長(zhǎng)度單位，得到新拋物線．若新拋物線的頂點(diǎn)在△ABC內(nèi)，求h的取值范圍；

（3）點(diǎn)P為線段BC上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B,C重合），過點(diǎn)P作x軸的垂線交（1）中的拋物線于點(diǎn)Q，當(dāng)△PQC與△ABC相似時(shí)，求△PQC的面積．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）的面積為或.

【解析】

（1）把，，代入中求出拋物線解析式，然后配方求出頂點(diǎn)坐標(biāo)即可；

（2）根據(jù)二次函數(shù)平移的性質(zhì)得到，得到頂點(diǎn)的坐標(biāo)為 ，然后分情況討論當(dāng)在直線BC上時(shí)，，解得；當(dāng)在直線AC上時(shí)，，解得，即可解答；

（3）由題意可得，再根據(jù)A,B,C的坐標(biāo)設(shè)，則，得到，，根據(jù)題意可知點(diǎn)P與點(diǎn)B是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，再分情況討論：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

解：（1）把，，代入中，得：

，解得.

拋物線的解析式為

.

頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是；

（2）將拋物線向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得拋物線.

新拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)是.

由題意得：直線BC的解析式為，直線AC的解析式為.

當(dāng)頂點(diǎn)在直線BC上時(shí)，，解得.

當(dāng)頂點(diǎn)在直線AC上時(shí)，，解得.

新拋物線的頂點(diǎn)在內(nèi)，的取值范圍是.

（3）如圖，直線PQ交x軸于點(diǎn)M，

，.

，

.

軸

.

.

，，，

，.

設(shè)，則

，.

由題意得，，，點(diǎn)P與點(diǎn)B是對(duì)應(yīng)點(diǎn).

①當(dāng)時(shí)，，

.

（舍）或.

，

...

②當(dāng)時(shí)，，

（舍）或.

，

.

綜上所述：的面積為或...