Question

【題目】一個(gè)大于1的自然數(shù)，除了1和它自身外，不能被其他自然數(shù)整除的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)，否則稱為合數(shù).其中，1和0既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù).數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》中對(duì)此進(jìn)行過(guò)詳細(xì)論述.一個(gè)較大自然數(shù)是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)通常用“N法”來(lái)判斷，主要分為三個(gè)步驟：第一步，找出大于N且最接近N的平方數(shù);第二步，用小于的所有質(zhì)數(shù)去除N;第三步，如果這些質(zhì)數(shù)都不能整除N,那么N就是質(zhì)數(shù)；如果這些質(zhì)數(shù)中至少有一個(gè)能整除N，那么N就是合數(shù).如判斷239是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)？第一步，;第二步，小于 16的質(zhì)數(shù)有： 2、3、5、7、11、13,用2、3、5、7、11、13 依次去除239;第三步，發(fā)現(xiàn)沒(méi)有質(zhì)數(shù)能整除239,所以239是質(zhì)數(shù).

分解質(zhì)因數(shù)就是把一個(gè)合數(shù)分解成若干個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積的形式，通過(guò)分解質(zhì)因數(shù)可以確定該合數(shù)的約數(shù)的個(gè)數(shù).若…（a, b, c…是不相等的質(zhì)數(shù)，m,n,p… 是正整數(shù)），則合數(shù)N共有…個(gè)約數(shù).如, ,則8共有4 個(gè)約數(shù)；又如,則12共有6個(gè)約數(shù).

請(qǐng)用以上方法解決下列問(wèn)題：

（1）請(qǐng)用“ N法”判斷619是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)？

（2）求有18個(gè)約數(shù)的最小自然數(shù).

Answer 1

【答案】(1)質(zhì)數(shù).理由見(jiàn)解析；（2）180.

【解析】

（1）先找出大于619且最接近619的平方數(shù)252;然后用小于25的所有質(zhì)數(shù)去除619，看有沒(méi)有質(zhì)數(shù)能整除619，再用“N法”來(lái)判斷619是質(zhì)數(shù)還是合數(shù);

（2）首先把18分成兩個(gè)數(shù)的乘積或3個(gè)數(shù)的乘積，用因數(shù)減1當(dāng)所求自然數(shù)的質(zhì)因數(shù)個(gè)數(shù)，從最小的質(zhì)數(shù)2開(kāi)始考慮，使2的個(gè)數(shù)最多，算出乘積比較得出答案．

解：（1），小于 25的質(zhì)數(shù)有:2、3、5、7、11、13,17、19、23，用2、3、5、7、11、13、17、19、23 依次去除619，沒(méi)有質(zhì)數(shù)能整除619,所以619是質(zhì)數(shù).

（2）∵18=18×1=9×2=6×3=3×3×2，
∴有18個(gè)約數(shù)的較小的自然數(shù)有：
①217，
②28×3，
③25×32=278，
④22×32×5=180；
從以上可以看出只有④的乘積最小；
所以有18個(gè)約數(shù)的最小自然數(shù)是180．
故答案為180．