Question

【題目】如圖，已知二次函數(shù)y＝x2﹣4的圖象與x軸交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè)），C為頂點(diǎn)．一次函數(shù)y＝mx+2的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)D．

（1）求直線AD的函數(shù)表達(dá)式；

（2）平移該拋物線得到一條新拋物線，設(shè)新拋物線的頂點(diǎn)為C′．若新拋物線的頂點(diǎn)和原拋物線的頂點(diǎn)的連線CC′平行于直線AD，且當(dāng)1≤x≤3時(shí)，新拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)值有最小值為﹣1，求新拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

（3）如圖，連接AC、BC，在坐標(biāo)平面內(nèi)，直接寫(xiě)出使得△ACD與△EBC相似（其中點(diǎn)A與點(diǎn)E是對(duì)應(yīng)點(diǎn)）的點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝x+2；（2）y＝（x+1）2﹣5或y＝（x﹣3）2﹣1；（3）點(diǎn)E坐標(biāo)為：（﹣，﹣2）或（2，﹣）或（0，﹣）或（，﹣2）．

【解析】

（1）令二次函數(shù)y＝x2﹣4=0，求出點(diǎn)A,B的坐標(biāo)，把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入一次函數(shù)y＝mx+2，即可求出直線AD的函數(shù)表達(dá)式；

（2）求出頂點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)CC'∥AD，求出CC'解析式，設(shè)C'（t，t﹣4），則新拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為：，分，1≤t≤3，三種情況進(jìn)行討論.

（3）分△ACD∽△EBC和△ACD∽△ECB兩種情況進(jìn)行討論.

解：（1）當(dāng)y＝0時(shí)，0＝x2﹣4，

∴x1＝2，x2＝﹣2，

∴A（﹣2，0），B（2，0）

∵直線AD過(guò)點(diǎn)A，

∴0＝﹣2m+2，

∴m＝1

∴直線AD的函數(shù)表達(dá)式為：y＝x+2

（2）當(dāng)x＝0時(shí)，y＝0﹣4＝﹣4

∴C（0，﹣4）

∵CC'∥AD

∴CC'解析式為：y＝x﹣4

∴設(shè)C'（t，t﹣4），則新拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為：y＝（x﹣t）2+t﹣4

①當(dāng)t＜1時(shí)，1≤x≤3對(duì)應(yīng)的新拋物線部分位于對(duì)稱軸右側(cè)，且y隨x的增大而增大，

∴當(dāng)x＝1時(shí)，y最小＝（1﹣t）2+t﹣4＝﹣1

∴t1＝2（舍去），t2＝﹣1

∴y＝（x+1）2﹣5

②當(dāng)1≤t≤3時(shí)，

∴x＝t時(shí)，y最小＝t﹣4＝﹣1

∴t＝3

∴y＝（x﹣3）2﹣1

③當(dāng)t＞3時(shí)，1≤x≤3對(duì)應(yīng)的新拋物線部分位于對(duì)稱軸左側(cè)，且y隨x的增大而減小

∴x＝3時(shí)，y最小＝（3﹣t）2+t﹣4＝﹣1

∴t1＝2（舍去），t2＝3（舍去）

綜上所述：新拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y＝（x+1）2﹣5或y＝（x﹣3）2﹣1

（3）△ACD與△EBC相似

∵點(diǎn)A（﹣2，0），點(diǎn)D（0，2），點(diǎn)C（0，﹣4），點(diǎn)B（2，0）

∴,

設(shè)點(diǎn)E坐標(biāo)為（x，y）,

若△ACD∽△EBC

∴

∴

∴

∴（x﹣2）2+（y﹣0）2＝

（x﹣0）2+（y+4）2＝

∴解得：

∴點(diǎn)E坐標(biāo) 或

若△ACD∽△ECB

∴

∴

∴

∴x2+（y+4）2＝（x﹣2）2+y2＝

解得：

∴點(diǎn)E坐標(biāo)或

綜上所述：點(diǎn)E坐標(biāo)為： 或或或