Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與直線都經(jīng)過、兩點(diǎn)，該拋物線的頂點(diǎn)為C．

（1）求此拋物線和直線的解析式；

（2）設(shè)直線與該拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)E，在射線上是否存在一點(diǎn)M，過M作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)N，使點(diǎn)M、N、C、E是平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)？若存在，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

（3）設(shè)點(diǎn)P是直線下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為，直線的解析式為，（2）或．（3）當(dāng)時(shí)，面積的最大值是，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為．

【解析】

（1）將、兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入二次函數(shù)的解析式和一次函數(shù)解析式即可求解；

（2）先求出C點(diǎn)坐標(biāo)和E點(diǎn)坐標(biāo)，則，分兩種情況討論：①若點(diǎn)M在x軸下方，四邊形為平行四邊形，則，②若點(diǎn)M在x軸上方，四邊形為平行四邊形，則，設(shè)，則，可分別得到方程求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）如圖，作軸交直線于點(diǎn)G，設(shè)，則，可由，得到m的表達(dá)式，利用二次函數(shù)求最值問題配方即可．

解：（1）∵拋物線經(jīng)過、兩點(diǎn)，

∴，

∴，

∴拋物線的解析式為，

∵直線經(jīng)過、兩點(diǎn)，

∴，解得：，

∴直線的解析式為，

（2）∵，

∴拋物線的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為，

∵軸，

∴，

∴，

①如圖，若點(diǎn)M在x軸下方，四邊形為平行四邊形，則，

設(shè)，則，

∴，

∴，

解得：，（舍去），

∴，

②如圖，若點(diǎn)M在x軸上方，四邊形為平行四邊形，則，

設(shè)，則，

∴，

∴，

解得：，（舍去），

∴，

綜合可得M點(diǎn)的坐標(biāo)為或．

（3）如圖，作軸交直線于點(diǎn)G，

設(shè)，則，

∴，

∴，

∴當(dāng)時(shí)，面積的最大值是，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為．