Question

【題目】如圖，二次函數(shù)的圖像與軸交于點(diǎn)，（在左側(cè)），與軸正半軸交于點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，軸，且．

（1）求點(diǎn)，的坐標(biāo)及的值；

（2）點(diǎn)為軸右側(cè)拋物線上一點(diǎn)．

①如圖①，若平分，交于點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

②如圖②，拋物線上一點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，直線交軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1），，；（2）①；②或．

【解析】

（1）令y＝0，解方程即可求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，由此可求得AB的長(zhǎng)及對(duì)稱軸，再根據(jù)即可求得OD長(zhǎng)，根據(jù)對(duì)稱軸即可求得CD=6，再根據(jù)勾股定理即可求得點(diǎn)C坐標(biāo)，將點(diǎn)C坐標(biāo)代入函數(shù)關(guān)系式從而可求得a的值；

（2）①作于，根據(jù)平分可得，進(jìn)而設(shè)，根據(jù)可得方程求解即可求得點(diǎn)E坐標(biāo)為，再用待定系數(shù)法求得直線OP的函數(shù)關(guān)系式，與二次函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立方程組即可求得點(diǎn)P坐標(biāo)；

②分兩種情形（Ⅰ）若點(diǎn)在點(diǎn)上方，如圖②，（Ⅱ）若點(diǎn)在點(diǎn)下方，如圖③，分別列出方程即可解決．

解：（1）令，則

，

∴，，

∴，．

∴，拋物線的對(duì)稱軸為直線，

∵

∴，

∵點(diǎn)C在y軸上且軸，

∴，，

∴，

∴點(diǎn)，

∴，

∴．

（2）①作于，

∵平分，，，

∴，

設(shè)，

∵，

∴，

∴，

∴

設(shè)對(duì)應(yīng)函數(shù)表達(dá)式為，

把代入，得，

∴對(duì)應(yīng)函數(shù)表達(dá)式為．

∵，

∴二次函數(shù)表達(dá)式為，

∴，

解得或（舍去）

∴點(diǎn)．

②∵當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)．

設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為

把點(diǎn)、點(diǎn)代入，

得

解得

∴直線的函數(shù)表達(dá)式為，

∴點(diǎn)，

∴．

∵，

∴，

∴．

（Ⅰ）若點(diǎn)在點(diǎn)上方，如圖②．

過(guò)點(diǎn)作軸的平行線，交軸于點(diǎn)．

∵，

∴軸，

∵軸，

∴點(diǎn)與點(diǎn)重合，，

∴，

∴，

∴設(shè)，，

∵軸，

∴，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∴或（舍去），

∴．

把代入

得，．

∴．

（Ⅱ）若點(diǎn)在點(diǎn)下方，如圖③．

過(guò)點(diǎn)作軸，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為，交軸于點(diǎn)．

∴，

∴四邊形是正方形，

∴

∵軸，

∴，，

∴，

∴設(shè)，，

∵，，

∴，

又∵，

∴，

∴

∴，，

∴，，

∴，

代入，得

，

∴（舍去），，

∴，

代入得

，

∴．

綜上所述，或．