【題目】如圖所示,拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點(diǎn),A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(﹣1,0)、(0,﹣3).
(1)求拋物線的函數(shù)解析式;
(2)點(diǎn)E為拋物線的頂點(diǎn),點(diǎn)C為拋物線與x軸的另一交點(diǎn),點(diǎn)D為y軸上一點(diǎn),且DC=DE,求出點(diǎn)D的坐標(biāo);
(3)在第二問的條件下,在直線DE上存在點(diǎn)P,使得以C、D、P為頂點(diǎn)的三角形與△DOC相似,請(qǐng)你直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).
【答案】(1)y=x2﹣2x﹣3;(2)D(0,﹣1);(3)P點(diǎn)坐標(biāo)(﹣,0)、(,﹣2)、(﹣3,8)、(3,﹣10).
【解析】試題分析:(1)將A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式,求出b,c值,即可得到拋物線解析式;(2)先根據(jù)解析式求出C點(diǎn)坐標(biāo),及頂點(diǎn)E的坐標(biāo),設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,m),作EF⊥y軸于點(diǎn)F,利用勾股定理表示出DC,DE的長。再建立相等關(guān)系式求出m值,進(jìn)而求出D點(diǎn)坐標(biāo);(3)先根據(jù)邊角邊證明△COD≌△DFE,得出∠CDE=90°,即CD⊥DE,然后當(dāng)以C、D、P為頂點(diǎn)的三角形與△DOC相似時(shí),根據(jù)對(duì)應(yīng)邊不同進(jìn)行分類討論:①當(dāng)OC與CD是對(duì)應(yīng)邊時(shí),有比例式,能求出DP的值,又因?yàn)?/span>DE=DC,所以過點(diǎn)P作PG⊥y軸于點(diǎn)G,利用平行線分線段成比例定理即可求出DG,PG的長度,根據(jù)點(diǎn)P在點(diǎn)D的左邊和右邊,得到符合條件的兩個(gè)P點(diǎn)坐標(biāo);②當(dāng)OC與DP是對(duì)應(yīng)邊時(shí),有比例式,易求出DP,仍過點(diǎn)P作PG⊥y軸于點(diǎn)G,利用比例式求出DG,PG的長度,然后根據(jù)點(diǎn)P在點(diǎn)D的左邊和右邊,得到符合條件的兩個(gè)P點(diǎn)坐標(biāo);這樣,直線DE上根據(jù)對(duì)應(yīng)邊不同,點(diǎn)P所在位置不同,就得到了符合條件的4個(gè)P點(diǎn)坐標(biāo).
試題解析:(1)∵拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A(﹣1,0)、B(0,﹣3),∴,解得,故拋物線的函數(shù)解析式為y=x2﹣2x﹣3;(2)令x2﹣2x﹣3=0,解得x1=﹣1,x2=3,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3,0),∵y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,∴點(diǎn)E坐標(biāo)為(1,﹣4),設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,m),作EF⊥y軸于點(diǎn)F(如下圖),∵DC2=OD2+OC2=m2+32,DE2=DF2+EF2=(m+4)2+12,∵DC=DE,∴m2+9=m2+8m+16+1,解得m=﹣1,∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,﹣1);(3)∵點(diǎn)C(3,0),D(0,﹣1),E(1,﹣4),∴CO=DF=3,DO=EF=1,根據(jù)勾股定理,CD===,在△COD和△DFE中,∵,∴△COD≌△DFE(SAS),∴∠EDF=∠DCO,又∵∠DCO+∠CDO=90°,∴∠EDF+∠CDO=90°,∴∠CDE=180°﹣90°=90°,∴CD⊥DE,①當(dāng)OC與CD是對(duì)應(yīng)邊時(shí),∵△DOC∽△PDC,∴,即=,解得DP=,過點(diǎn)P作PG⊥y軸于點(diǎn)G,則,即,解得DG=1,PG=,當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)D的左邊時(shí),OG=DG﹣DO=1﹣1=0,所以點(diǎn)P(﹣,0),當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)D的右邊時(shí),OG=DO+DG=1+1=2,所以,點(diǎn)P(,﹣2);②當(dāng)OC與DP是對(duì)應(yīng)邊時(shí),∵△DOC∽△CDP,∴,即=,解得DP=3,過點(diǎn)P作PG⊥y軸于點(diǎn)G,則,即,解得DG=9,PG=3,當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)D的左邊時(shí),OG=DG﹣OD=9﹣1=8,所以,點(diǎn)P的坐標(biāo)是(﹣3,8),當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)D的右邊時(shí),OG=OD+DG=1+9=10,所以,點(diǎn)P的坐標(biāo)是(3,﹣10),綜上所述,在直線DE上存在點(diǎn)P,使得以C、D、P為頂點(diǎn)的三角形與△DOC相似,滿足條件的點(diǎn)P共有4個(gè),其坐標(biāo)分別為(﹣,0)、(,﹣2)、(﹣3,8)、(3,﹣10).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】成都市教育局和體育局都非常重視青少年球類運(yùn)動(dòng)的發(fā)展,經(jīng)過多年的努力,全市青少年球類運(yùn)動(dòng)水平取得了大幅度提升.體育老師吳老師為了了解九年級(jí)學(xué)生喜歡球類運(yùn)動(dòng)的情況,抽取了該年級(jí)部分學(xué)生對(duì)籃球、足球、排球、乒乓球的愛好情況進(jìn)行了調(diào)查,并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖(說明:每位學(xué)生只選一種自己喜歡的一種球類),請(qǐng)根據(jù)這兩幅圖形解答下列問題:
(1)將兩個(gè)不完整的統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
(2)九(1)班在本次調(diào)查中有3名女生和2名男生喜歡籃球,現(xiàn)從這5名學(xué)生中任意抽取2名學(xué)生當(dāng)籃球隊(duì)的隊(duì)長,請(qǐng)用列表法或畫樹狀圖的方法求出剛好抽到一男一女的概率.
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【題目】2016年10月12日至15日,第二屆中國“互聯(lián)網(wǎng)+”大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)全國總決賽上,ofo共享單車從全國約119000個(gè)創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目中脫穎而出,最終獲得金獎(jiǎng).將119000用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為( )
A.1.19×104
B.0.119×106
C.1.19×105
D.11.9×104
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列關(guān)系式正確的是( )
A.35.5°=35°5′ B.35.5°=35°50′ C.35.5°<35°5′ D.35.5°>35°5′
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】直線l與直線y=2x+1的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2,與直線y=﹣x+2的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1,求直線l對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列說法正確的是
①任何一個(gè)有理數(shù)的平方都是正數(shù)
②任何一個(gè)有理數(shù)的絕對(duì)值都是非負(fù)數(shù)
③如果一個(gè)有理數(shù)的倒數(shù)等于它本身,那么這個(gè)數(shù)是1
④如果一個(gè)有理數(shù)的相反數(shù)等于它本身,那么這個(gè)數(shù)是0
A. ①④ B. ②③ C. ③④ D. ②④
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線與x軸交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,連結(jié)AC、BC,D是線段OB上一動(dòng)點(diǎn),以CD為一邊向右側(cè)作正方形CDEF,連結(jié)BF,若S△OBC=8,AC=BC。
(1)求拋物線的解析式;
(2)求證:BF⊥AB;
(3)求∠FBE的度數(shù);
(4)當(dāng)D點(diǎn)沿x軸正方向移動(dòng)到點(diǎn)B時(shí),點(diǎn)E也隨著移動(dòng),求點(diǎn)E所走過的路線長。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著服裝市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)日益激烈,某品牌服裝專賣店一款服裝按原售價(jià)降價(jià)a元后,再次降價(jià)20%,現(xiàn)售價(jià)為b元,設(shè)原售價(jià)為x元,列方程為
A. x-20%a=b B. (x-a)·20%=b
C. (x-a)·(1-20%)=b D. x-a-20%a=b
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