【題目】如圖,邊長(zhǎng)為6的等邊三角形ABC中,D是AB邊上的一動(dòng)點(diǎn),由A向B運(yùn)動(dòng)(A、B不重合),F是BC延長(zhǎng)線上的一動(dòng)點(diǎn),與D同時(shí)以相同的速度由C向BC延長(zhǎng)線方向運(yùn)動(dòng)(與C不重合),過點(diǎn)D作DE⊥AC,連接DF交AC于G.
(1)當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到AB的中點(diǎn)時(shí),直接寫出AE的長(zhǎng).
(2)當(dāng)DF⊥AB時(shí),求AD的長(zhǎng).
(3)在運(yùn)動(dòng)過程中線段GE的長(zhǎng)是否發(fā)生變化?如果不變,求出線段GE的長(zhǎng):如果發(fā)生改變請(qǐng)說明理由.
【答案】(1) (2)2 (3)不變;3
【解析】
(1)由點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到AB的中點(diǎn)得到AD=AB=3,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得:∠A=60°,求得∠ADE=30°,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論;
(2)由點(diǎn)E、F同時(shí)運(yùn)動(dòng)且速度相同得到AD=CF,求出∠AGD=∠CGF=30°,∠F=30°,進(jìn)而得到CF=CG=AD,設(shè)AD=CG=CF=x,則AG=2x,列方程即可求解;
(3)作FQ⊥AC,交線段AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q,連接FE,DQ,易知AD=CF,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠A=∠ABC=∠QCF=60°,繼而推出△ADE≌△CFQ(AAS),由AE=CQ,DE=QF且DE∥QF可得四邊形DEFQ是平行四邊形,繼而可知 GE=EQ,推出GE=AC,即可得到結(jié)論.
解:(1)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到AB的中點(diǎn)時(shí),
∵AD=AB=3,∠A=60°,
∵DE⊥AC,
∴∠ADE=30°,
∴AE=AD=;
(2)∵點(diǎn)D、F同時(shí)運(yùn)動(dòng)且速度相同,
∴AD=CF,
∵DF⊥AB,∠A=60°,
∴∠AGD=∠CGF=30°,
∵∠B=60°,
∴∠F=30°,
∴∠CGF=∠F,
∴CF=CG=AD,
設(shè)AD=CG=CF=x,則AG=2x,
∴AG+CG=2x+x=3x=6,
∴x=2,
∴AD=2;
(3)當(dāng)點(diǎn)D、F同時(shí)運(yùn)動(dòng)且速度相同時(shí),線段GE的長(zhǎng)度不會(huì)改變.理由如下:
作FQ⊥AC,交線段AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q,連接FE,DQ,
又∵DE⊥AB于E,
∴∠GQF=∠AED=90°,
∵點(diǎn)D、F速度相同,
∴AD=CF,
∵△ABC是等邊三角形,
∴∠A=∠ABC=∠QCF=60°,
在△ADE和△CFQ中,
∵∠AED=∠CQF=90°,
∴∠AED=∠CQF,
在△ADE和△CQF中,
∴△ADE≌△CFQ(AAS),
∴AE=CQ,DE=QF且DE∥QF,
∴四邊形DEFQ是平行四邊形,
∴GE=EQ,
∵EC+AE=CE+CQ=AC,
∴GE=AC,
又∵等邊△ABC的邊長(zhǎng)為6,
∴GE=3,
∴點(diǎn)D、F同時(shí)運(yùn)動(dòng)且速度相同時(shí),線段GE的長(zhǎng)度不會(huì)改變.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】【背景知識(shí)】數(shù)軸是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要工具,利用數(shù)軸可以將數(shù)與形完美地結(jié) 合.研究數(shù)軸我們發(fā)現(xiàn)了許多重要的規(guī)律:若數(shù)軸上點(diǎn) A、點(diǎn) B 表示的數(shù)分別為 a、b,則A、B 兩點(diǎn)之間的距離 AB= ,線段 AB 的中點(diǎn)表示的數(shù)為 .
【問題情境】如圖,數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為-2,點(diǎn)B表示的數(shù)為8,點(diǎn)P從點(diǎn) A 出發(fā), 以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā),以每秒 2個(gè)單 位長(zhǎng)度的速度向左勻速運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(t>0).
【綜合運(yùn)用】(1) 填空:
①A、B兩點(diǎn)之間的距離AB=__________,線段AB的中點(diǎn)表示的數(shù)為_______;
②用含t的代數(shù)式表示:t秒后,點(diǎn)P表示的數(shù)為_______;點(diǎn)Q表示的數(shù)為_____.
(2) 求當(dāng)t為何值時(shí),P、Q 兩點(diǎn)相遇,并寫出相遇點(diǎn)所表示的數(shù);
(3)求當(dāng)t為何值時(shí),PQ=AB;
(4)若點(diǎn)M為PA的中點(diǎn),點(diǎn)N為PB的中點(diǎn),點(diǎn) P在運(yùn)動(dòng)過程中,線段MN的長(zhǎng)度是否發(fā) 生變化?若變化,請(qǐng)說明理由;若不變,請(qǐng)求出線段MN的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了節(jié)約能源,某城市開展了節(jié)約水電活動(dòng),已知該城市共有10000戶家庭,活動(dòng)前,某調(diào)查小組隨機(jī)抽取了部分家庭每月的水電費(fèi)的開支(單位:元),結(jié)果如左圖所示頻數(shù)直方圖(每一組含前一個(gè)邊界值,不含后一個(gè)邊界值);活動(dòng)后,再次調(diào)查這些家庭每月的水電費(fèi)的開支,結(jié)果如表所示:
(1)求所抽取的樣本的容量;
(2)如以每月水電費(fèi)開支在225元以下(不含)為達(dá)到節(jié)約標(biāo)準(zhǔn),請(qǐng)問通過本次活動(dòng),該城市大約增加了多少戶家庭達(dá)到節(jié)約標(biāo)準(zhǔn)?
(3)活動(dòng)后,這些樣本家庭每月水電費(fèi)開支的總額能否低于6000元?
(4)請(qǐng)選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)量分析活動(dòng)前后的相關(guān)數(shù)據(jù),并評(píng)價(jià)節(jié)約水電活動(dòng)的效果.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(﹣5,1),B(﹣2,2),C(﹣1,4),請(qǐng)按下列要求畫圖:
(1)將△ABC先向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度、再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,得到△A1B1C1,畫出△A1B1C1;
(2)畫出與△ABC關(guān)于原點(diǎn)O成中心對(duì)稱的△A2B2C2,并直接寫出點(diǎn)A2的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在數(shù)軸上,點(diǎn)A表示﹣10,點(diǎn)B表示11,點(diǎn)C表示18.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿?cái)?shù)軸正方向以每秒2個(gè)單位的速度勻速運(yùn)動(dòng);同時(shí),動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā),沿?cái)?shù)軸負(fù)方向以每秒1個(gè)單位的速度勻速運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.
(1)當(dāng)t為何值時(shí),P、Q兩點(diǎn)相遇?相遇點(diǎn)M所對(duì)應(yīng)的數(shù)是多少?
(2)在點(diǎn)Q出發(fā)后到達(dá)點(diǎn)B之前,求t為何值時(shí),點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離與點(diǎn)Q到點(diǎn)B的距離相等;
(3)在點(diǎn)P向右運(yùn)動(dòng)的過程中,N是AP的中點(diǎn),在點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C之前,求2CN﹣PC的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知有理數(shù)a、b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示.
(1)已知a=–2.3,b=0.4,計(jì)算|a+b|–|a|–|1–b|的值;
(2)已知有理數(shù)a、b,計(jì)算|a+b|–|a|–|1–b|的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,∠C=120°,AD=2AB=4,點(diǎn)H、G分別是邊CD、BC上的動(dòng)點(diǎn).連接AH、HG,點(diǎn)E為AH的中點(diǎn),點(diǎn)F為GH的中點(diǎn),連接EF.則EF的最大值與最小值的差為( )
A. 1 B. ﹣1 C. D. 2﹣
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,長(zhǎng)方形中,,,動(dòng)點(diǎn)、分別從點(diǎn)、同時(shí)出發(fā),點(diǎn)以2厘米/秒的速度向終點(diǎn)移動(dòng),點(diǎn)以1厘米/秒的速度向移動(dòng),當(dāng)有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí),另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒,當(dāng)________時(shí),以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】根據(jù)圖中給出的數(shù)軸解答問題:
(1)請(qǐng)你根據(jù)圖中A,B兩點(diǎn)的位置,分別寫出他們所表示的有理數(shù)為 ;
(2)觀察數(shù)軸,與點(diǎn)A的距離為4的點(diǎn)表示的數(shù)是 ;
(3)如果將數(shù)軸折疊,使得點(diǎn)A與表示﹣2的點(diǎn)重合,則點(diǎn)B與表示數(shù) 的點(diǎn)重合;
(4)如果數(shù)軸上M,N兩點(diǎn)之間的距離為2020(M在N的左側(cè)),且M,N兩點(diǎn)經(jīng)過(3)中折疊后互相重合,則M,N兩點(diǎn)所表示的數(shù)分別是 , .
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