【題目】在四邊形ABCD中,AB=AD,CB=CD,∠ABC=∠ADC=90°,∠BAD=α,∠BCD=β,點(diǎn)E,F是四邊形ABCD內(nèi)的兩個(gè)點(diǎn),滿足∠EAF=,∠ECF=,連接BE,EF,FD.
(1)如圖1,當(dāng)α=β時(shí),判斷∠ABE和∠ADF之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的猜想;
(2)當(dāng)α≠β時(shí),用等式表示線段BE,EF,FD之間的數(shù)量關(guān)系(直接寫出即可)
【答案】(1)∠ABE+∠ADF=90°,見解析;(2)BE2+DF2= EF2.
【解析】
(1)結(jié)論:∠ABE+∠ADF=90°.將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADM,將△BCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CDT,連接FM,TF.證明M,D,T共線,再證明FM=FT.DM=DT即可解決問題.
(2)結(jié)論:EF2=BE2+DF2.將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α度得到△ADM,將△BCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)β度得到△CDT,連接FM,TF.證明∠FDM=90°,利用勾股定理即可解決問題.
(1)結(jié)論:∠ABE+∠ADF=90°.
理由:∵AB=AD,CB=CD,∠ABC=∠ADC=90°,∠BAD=∠BCD,
∴∠BAD=∠BCD=90°,
∴四邊形ABCD是正方形,
∴AB=BC=CD=AD,
將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADM,將△BCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CDT,連接FM,TF.
∵∠EAF=×90°=45°,
∴∠MAD+∠DAF=∠BAE+∠DAF=45°,
∴∠FAM=∠FAE,
∵AM=AE,AF=AF,
∴△AFM≌△AFE(SAS),
∴EF=FM,
同法可證:EF=FT,
∴FM=FT,
∵∠ADM+∠CDT=∠ABE+∠CBE=90°,
∴∠MDT=90°+90°=180°,
∴M,D,T共線,
∵DM=BE,DT=BE,
∴DM=DT,
∴FD⊥MT,
∴∠FDM=90°,
∴∠ADM+∠ADF=90°,
∵∠ADM=∠ABE,
∴∠ABE+∠ADF=90°.
(2)結(jié)論:EF2=BE2+DF2.
理由:∵AD=AB,CD=CB,
∴將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α度得到△ADM,將△BCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)β度得到△CDT,連接FM,TF.
∵∠EAF=×∠DAB=α,
∴∠MAD+∠DAF=∠BAE+∠DAF=α,
∴∠FAM=∠FAE,
∵AM=AE,AF=AF,
∴△AFM≌△AFE(SAS),
∴EF=FM,
同法可證:EF=FT,
∴FM=FT,
∵∠ADM+∠CDT=∠ABE+∠CBE=90°,
∴∠MDT=90°+90°=180°,
∴M,D,T共線,
∵DM=BE,DT=BE,
∴DM=DT,
∴FD⊥MT,
∴∠FDM=90°,
∴FM2=DM2+DF2,
∵FM=EF,DM=BE,
∴EF2=BE2+DF2.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了解“停課不停學(xué)”過程中學(xué)生對網(wǎng)課內(nèi)容的喜愛程度,某校開展了一次網(wǎng)上問卷調(diào)查.隨機(jī)抽取部分學(xué)生,按四個(gè)類別統(tǒng)計(jì),其中A表示“很喜歡”,B表示“喜歡”,C表示“一般”,D表示“不喜歡”,并將調(diào)查結(jié)果繪制成下面兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.
請根據(jù)圖中提供的信息,解決下列問題:
(1)這次共抽取 名學(xué)生進(jìn)行統(tǒng)計(jì)調(diào)查,扇形統(tǒng)計(jì)圖中D類所在扇形的圓心角度數(shù)為 ;
(2) 將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
(3) 若該校共有3000名學(xué)生,估計(jì)該校表示“喜歡”的B類學(xué)生大約有多少人?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某市教委為了讓廣大青少年學(xué)生走向操場、走進(jìn)自然、走到陽光下,積極參加體育鍛煉,啟動(dòng)了“學(xué)生陽光體育運(yùn)動(dòng)”,其中有一項(xiàng)是短跑運(yùn)動(dòng),短跑運(yùn)動(dòng)可以鍛煉人的靈活性,增強(qiáng)人的爆發(fā)力,因此張明和李亮在課外活動(dòng)中報(bào)名參加了百米訓(xùn)練小組.在近幾次百米訓(xùn)練中,教練對他們兩人的測試成績進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)和分析,請根據(jù)圖表中的信息解答以下問題:
成績統(tǒng)計(jì)分析表
(1)張明第2次的成績?yōu)?/span>__________秒;
(2)請補(bǔ)充完整上面的成績統(tǒng)計(jì)分析表;
(3)現(xiàn)在從張明和李亮中選擇一名成績優(yōu)秀的去參加比賽,若你是他們的教練,應(yīng)該選擇誰? 請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn),其中A點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣1,0),點(diǎn)C(0,5),另拋物線經(jīng)過點(diǎn)(1,8),M為它的頂點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式;
(2)求△MCB的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知關(guān)于的一元二次方程.
(1)求證:無論為任何實(shí)數(shù),此方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根;
(2)若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為、,滿足,求的值;
(3)若△的斜邊為5,另外兩條邊的長恰好是方程的兩個(gè)根、,求的內(nèi)切圓半徑.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,為等邊三角形,為其內(nèi)心,射線交于點(diǎn), 點(diǎn)為射線上一動(dòng)點(diǎn),將射線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),與射線交于點(diǎn),當(dāng)時(shí),的長度為__________
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在中,,點(diǎn)為底邊上一動(dòng)點(diǎn),將射線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后,與射線相交于點(diǎn),且
如圖①,當(dāng)點(diǎn)在底邊上,時(shí),請直接寫出線段之間的數(shù)量關(guān)系;
如圖②,當(dāng)點(diǎn)在底邊上,,且時(shí),求證:
當(dāng),且時(shí),請直接寫出的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC內(nèi)接于☉O,AB是☉O的直徑,CD平分∠ACB交☉O于點(diǎn)D,交AB于點(diǎn)F,弦AE⊥CD于點(diǎn)H,連接CE、OH.
(1)延長AB到圓外一點(diǎn)P,連接PC,若PC2=PB·PA,求證:PC是☉O的切線;
(2)求證:CF·AE=AC·BC;
(3)若=,☉O的半徑是,求tan∠AEC和OH的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知C為線段AB中點(diǎn),∠ACM=α.Q為線段BC上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)B重合),點(diǎn)P在射線CM上,連接PA,PQ,記BQ=kCP.
(1)若α=60°,k=1,
①如圖1,當(dāng)Q為BC中點(diǎn)時(shí),求∠PAC的度數(shù);
②直接寫出PA、PQ的數(shù)量關(guān)系;
(2)如圖2,當(dāng)α=45°時(shí).探究是否存在常數(shù)k,使得②中的結(jié)論仍成立?若存在,寫出k的值并證明;若不存在,請說明理由.
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