【題目】如圖,△ABC內(nèi)接于☉O,AB是☉O的直徑,CD平分∠ACB交☉O于點(diǎn)D,交AB于點(diǎn)F,弦AE⊥CD于點(diǎn)H,連接CE、OH.
(1)延長(zhǎng)AB到圓外一點(diǎn)P,連接PC,若PC2=PB·PA,求證:PC是☉O的切線;
(2)求證:CF·AE=AC·BC;
(3)若=,☉O的半徑是,求tan∠AEC和OH的長(zhǎng).
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)見(jiàn)解析;(3) tan∠AEC=,OH =1.
【解析】
(1)連接OC證明△PBC∽△PCA得∠BAC=∠PCB,可得∠PCO=90°,于是證得..
(2)△ACE、△CFB中,已知的相等角有∠CEA=∠CBA(同弧所對(duì)的圓周角),只需再找出一組對(duì)應(yīng)角相等即可;易知∠ACB是直角,由于CD平分∠ACB,則∠ACH=∠FCB=45°;在Rt△CAH中,易證得∠HAC=45°,則∠CAH=∠FCB,由此得證;
(3)通過(guò)面積公式證明=.根據(jù)tan∠AEC=tan∠ABC=可求.AC=3k,BC=2k,在Rt△ACB中求出AC=6,BC=4.由△ACK是等腰直角三角形
可得BK=6-4=2,又OH是△ABK的中位線,可得OH=BK=1.
(1)證明:∵PC2=PB·PA,∴=,
∵∠BPC=∠APC,∴△PBC∽△PCA,
∴∠BAC=∠PCB,連接OC,如圖所示,
∵AO=OC,∴∠ACO=∠BAC,∴∠ACO=∠PCB.
∵AB是☉O的直徑,∴∠ACB=90°,
∴∠BCO+∠ACO=90°,
∴∠BCO+∠PCB=90°,∴∠PCO=90°.
∵OC是半徑,∴PC是☉O的切線.
(2)證明:∵AB是☉O的直徑,∴∠ACB=90°.
∵CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠FCB=45°.
∵AE⊥CD,∴∠CAE=45°=∠FCB.
在△ACE與△CFB中,
∠CAE=∠FCB,∠AEC=∠FBC,
∴△ACE∽△CFB,∴=,
∴CF·AE=AC·BC.
(3)作FM⊥AC于M,FN⊥BC于N,CQ⊥AB于Q,延長(zhǎng)AE、CB交于點(diǎn)K.
∵CD平分∠ACB,∴FM=FN.
∵S△ACF=AC·FM=AF·CQ,
S△BCF=BC·FN=BF·CQ,
∴==,
∴=.
∵AB是☉O的直徑,∴∠ACB=90°且tan∠ABC=.
∵=且∠AEC=∠ABC,
∴tan∠AEC=tan∠ABC==.
設(shè)AC=3k,BC=2k,
∵在Rt△ACB中,AB2=AC2+BC2且AB=2,
∴(3k)2+(2k)2=(2)2,∴k=2(k=-2舍去),
∴AC=6,BC=4,
∵∠FCB=45°,∠CHK=90°,
∴∠K=45°=∠CAE,
∴HA=HC=HK,CK=CA=6.
∵CB=4,∴BK=6-4=2,
∵OA=OB,HA=HK,
∴OH是△ABK的中位線,∴OH=BK=1.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:如圖,在△ABC中,AB=AC,AD是BC邊上的中線,點(diǎn)E是AD上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)B作BF∥EC,交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連接BE,CF.
(1)求證:△BDF≌△CDE;
(2)當(dāng)ED與BC滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí),四邊形BECF是正方形?請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在四邊形ABCD中,AB=AD,CB=CD,∠ABC=∠ADC=90°,∠BAD=α,∠BCD=β,點(diǎn)E,F是四邊形ABCD內(nèi)的兩個(gè)點(diǎn),滿足∠EAF=,∠ECF=,連接BE,EF,FD.
(1)如圖1,當(dāng)α=β時(shí),判斷∠ABE和∠ADF之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的猜想;
(2)當(dāng)α≠β時(shí),用等式表示線段BE,EF,FD之間的數(shù)量關(guān)系(直接寫(xiě)出即可)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】四邊形是正方形,、分別是和的延長(zhǎng)線上的點(diǎn),且,連接、、.
(1)求證:;
(2)若,,求的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,等邊△A1C1C2的周長(zhǎng)為1,作C1D1⊥A1C2于D1,在C1C2的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)C3,使D1C3=D1C1,連接D1C3,以C2C3為邊作等邊△A2C2C3;作C2D2⊥A2C3于D2,在C2C3的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)C4,使D2C4=D2C2,連接D2C4,以C3C4為邊作等邊△A3C3C4;…且點(diǎn)A1,A2,A3,…都在直線C1C2同側(cè),如此下去,可得到△A1C1C2,△A2C2C3,△A3C3C4,…,△AnCnCn+1,則△AnCnCn+1的周長(zhǎng)為_______(n≥1,且n為整數(shù)).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,直線y=﹣x+2與x軸交于點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)C,拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn),點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥x軸,垂足為Q,交直線y=﹣x+2于點(diǎn)D.設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m.
(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)若以P、D、O、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,求點(diǎn)Q的坐標(biāo);
(3)如圖2,當(dāng)點(diǎn)P位于直線BC上方的拋物線上時(shí),過(guò)點(diǎn)P作PE⊥BC于點(diǎn)E,求當(dāng)PE取得最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo),并求PE的最大值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為
A(6,0)、B(0,2),以AB為斜邊在右上方作Rt△ABC.設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為(x,y),則(x+y)的最大值為__.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】紅樹(shù)林學(xué)校在七年級(jí)新生中舉行了全員參加的“防溺水”安全知識(shí)競(jìng)賽,試卷題目共10題,每題10分.現(xiàn)分別從三個(gè)班中各隨機(jī)取10名同學(xué)的成績(jī)(單位:分),收集數(shù)據(jù)如下:
1班:90,70,80,80,80,80,80,90,80,100;
2班:70,80,80,80,60,90,90,90,100,90;
3班:90,60,70,80,80,80,80,90,100,100.
整理數(shù)據(jù):
分?jǐn)?shù) 人數(shù) 班級(jí) | 60 | 70 | 80 | 90 | 100 |
1班 | 0 | 1 | 6 | 2 | 1 |
2班 | 1 | 1 | 3 | 1 | |
3班 | 1 | 1 | 4 | 2 | 2 |
分析數(shù)據(jù):
平均數(shù) | 中位數(shù) | 眾數(shù) | |
1班 | 83 | 80 | 80 |
2班 | 83 | ||
3班 | 80 | 80 |
根據(jù)以上信息回答下列問(wèn)題:
(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出表格中的值;
(2)比較這三組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù),你認(rèn)為哪個(gè)班的成績(jī)比較好?請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)為了讓學(xué)生重視安全知識(shí)的學(xué)習(xí),學(xué)校將給競(jìng)賽成績(jī)滿分的同學(xué)頒發(fā)獎(jiǎng)狀,該校七年級(jí)新生共570人,試估計(jì)需要準(zhǔn)備多少?gòu)埅?jiǎng)狀?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,拋物線L1:y=-x2-2x+3交x軸于A,B兩點(diǎn),交y軸于M點(diǎn)拋物線L1向右平移2個(gè)單位得到拋物線L2,L2交x軸于C,D兩點(diǎn).
(1)求拋物線L2對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式;
(2)拋物線L1或L2在x軸上方的部分是否存在點(diǎn)N,使以A,C,M,N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,求出點(diǎn)N的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)若點(diǎn)P是拋物線L1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(P不與點(diǎn)A,B重合),那么點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)Q是否在拋物線L2上?請(qǐng)說(shuō)明理由.
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