【題目】如圖,為等邊三角形,為其內(nèi)心,射線交于點, 點為射線上一動點,將射線繞點逆時針旋轉(zhuǎn),與射線交于點,當時,的長度為__________
【答案】或;
【解析】
根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和內(nèi)心的定義可得∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°,AD平分∠BAC,AB=BC=AC,然后利用銳角三角函數(shù)求出BD、CD、OD和OC,然后根據(jù)點P和點O的相對位置分類討論,分別畫出對應的圖形,利用全等三角形的判定及性質(zhì)、銳角三角函數(shù)和相似三角形的判定及性質(zhì)即可求出結(jié)論.
解:∵為等邊三角形,為其內(nèi)心,
∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°,AD平分∠BAC,AB=BC=AC
∴AD⊥BC,BD=CD,∠BAD=∠CAD=∠BAC=30°
∴BD=CD==,AB =AC=BC=2BD=
連接OC
易知OC=OA,∠OCD=30°
在Rt△OCD中,OD=CD·tan∠OCD=2,OC=2OD=4
①當點P在點O上方時,如下圖所示,設射線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)后,點P的對應點為E,連接BE,過點E作EF⊥BC于F
∴∠PCE=60°,EC=PC,AP=AD-OD-PO=3
∴∠PCE=∠ACB=60°
∴∠ECB=∠PCA
∵BC=AC
∴△ECB≌△PCA
∴BE=AP=3,∠EBC=∠PAC=30°
∴EF=BE·sin∠EBC=,BF= BE·cos∠EBC=
∴CF=BC-BF=
∵EF⊥BC,AQ⊥BC
∴EF∥AQ
∴△CDQ∽△CFE
∴
即
解得:DQ=;
②當點P在點O下方時,如下圖所示,設射線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)后,點P的對應點為E,連接BE,過點E作EF⊥BC于F
∴∠PCE=60°,EC=PC,AP=AD-OD+PO=5
∴∠PCE=∠ACB=60°
∴∠ECB=∠PCA
∵BC=AC
∴△ECB≌△PCA
∴BE=AP=5,∠EBC=∠PAC=30°
∴EF=BE·sin∠EBC=,BF= BE·cos∠EBC=
∴CF=BC-BF=
∵EF⊥BC,AQ⊥BC
∴EF∥AQ
∴△CDQ∽△CFE
∴
即
解得:DQ=;
綜上:DQ=或
故答案為:或.
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【題目】如右圖,點A的坐標為(0,1),點B是x軸正半軸上的一動點,以AB為邊作等腰直角△ABC,使∠BAC=90°,如果點B的橫坐標為x,點C的縱坐標為y,那么表示y與x的函數(shù)關系的圖像大致是( )
A.B.
C.D.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖①,已知拋物線y=﹣x2+x+2與x軸交于A、B兩點,與y軸交于C點,拋物線的頂點為Q,連接BC.
(1)求直線BC的解析式;
(2)點P是直線BC上方拋物線上的一點,過點P作PD⊥BC于點D,在直線BC上有一動點M,當線段PD最大時,求PM+MB最小值;
(3)如圖②,直線AQ交y軸于G,取線段BC的中點K,連接OK,將△GOK沿直線AQ平移得△G′O'K′,將拋物線y=﹣x2+x+2沿直線AQ平移,記平移后的拋物線為y′,當拋物線y′經(jīng)過點Q時,記頂點為Q′,是否存在以G'、K'、Q'為頂點的三角形是等腰三角形?若存在,求出點G′的坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】在平面直角坐標系xOy中,已知點A(-2,0),B(2,0),點P在直線上,若△ABP是直角三角形,則點P的坐標為______________.
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【題目】在四邊形ABCD中,AB=AD,CB=CD,∠ABC=∠ADC=90°,∠BAD=α,∠BCD=β,點E,F是四邊形ABCD內(nèi)的兩個點,滿足∠EAF=,∠ECF=,連接BE,EF,FD.
(1)如圖1,當α=β時,判斷∠ABE和∠ADF之間的數(shù)量關系,并證明你的猜想;
(2)當α≠β時,用等式表示線段BE,EF,FD之間的數(shù)量關系(直接寫出即可)
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【題目】如圖,在教室前面墻壁處安裝了一個攝像頭,當恰好觀測到后面墻壁與底面交接處點時,攝像頭俯角約為,受安裝支架限制,攝像頭觀測的俯角最大約為,已知攝像頭安裝點高度約為米,攝像頭與安裝的墻壁之間距離忽略不計,
求教室的長(教室前后墻壁之間的距離的值);
若第一排桌子前邊緣與前面墻壁的距離為米, 桌子的高度為米,那么第一排桌子是否在監(jiān)控范圍內(nèi)?如果不在,應該怎樣移動? (,精確到米)
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【題目】如圖1,直線y=﹣x+2與x軸交于點B,與y軸交于點C,拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過B、C兩點,點P是拋物線上的一個動點,過點P作PQ⊥x軸,垂足為Q,交直線y=﹣x+2于點D.設點P的橫坐標為m.
(1)求該拋物線的函數(shù)表達式;
(2)若以P、D、O、C為頂點的四邊形是平行四邊形,求點Q的坐標;
(3)如圖2,當點P位于直線BC上方的拋物線上時,過點P作PE⊥BC于點E,求當PE取得最大值時點P的坐標,并求PE的最大值.
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【題目】已知:如圖1,直線,所成的角跑到畫板外面去了,你有什么辦法作出這兩條直線所成角的角平分線?
小明的做法是:
(1)如圖2,畫;
(2)以為圓心,任意長為半徑畫圓弧,分別交直線,于點,;
(3)連結(jié)并延長交直線于點;
請你先完成下面的證明,然后完成第(4)步作圖:
∵
∴( )
∵以為圓心,任意長為半徑畫圓弧,分別交直線,于點,
∴
∴
∴
∴以直線,的交點和點、為頂點所構(gòu)成的三角形為等腰三角形( )
根據(jù)上面的推理證明完成第(4)步作圖
(4)請在圖2畫板內(nèi)作出“直線,所成的跑到畫板外面去的角”的平分線(畫板內(nèi)的部分),尺規(guī)作出圖形,并保留作圖痕跡.
第(4)步這么作圖的理論依據(jù)是: .
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