【題目】在中,,點(diǎn)為底邊上一動(dòng)點(diǎn),將射線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后,與射線相交于點(diǎn),且
如圖①,當(dāng)點(diǎn)在底邊上,時(shí),請(qǐng)直接寫出線段之間的數(shù)量關(guān)系;
如圖②,當(dāng)點(diǎn)在底邊上,,且時(shí),求證:
當(dāng),且時(shí),請(qǐng)直接寫出的值.
【答案】(1);(2)證明見(jiàn)解析;(3)或
【解析】
(1)在△ABC外取一點(diǎn)F,使AF=AD,CF=BD,連接EF,利用SSS證出△ABD≌△ACF,再證出△ADE≌△AEF,從而證出DE=EF,根據(jù)勾股定理和等量代換即可得出結(jié)論;
(2)在△ABC外取一點(diǎn)F,使AF=AD,CF=BD,連接EF,作FG⊥BC,交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,利用SSS證出△ABD≌△ACF,再證出△ADE≌△AEF,從而證出DE=EF,再利用銳角三角函數(shù)和勾股定理即可證出結(jié)論;
(3)根據(jù)點(diǎn)E在線段BC上和BC的延長(zhǎng)線上分類討論,分別畫(huà)出對(duì)應(yīng)的圖形,根據(jù)(1)(2)的方法及原理求出CE、EF和CF的關(guān)系,從而求出結(jié)論.
(1),理由如下
在△ABC外取一點(diǎn)F,使AF=AD,CF=BD,連接EF,
∵AB=AC,∠B=∠ACB=45°
∴△ABD≌△ACF,
∴∠BAD=∠CAF,AD=AF,∠ACF=∠B=45°,
∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=90°
∵∠DAE=∠BAC,
∴∠BAD+∠CAE=∠BAC,
∴∠EAF=∠CAF+∠CAE=∠BAC,
∴∠DAE=∠EAF,
∵AD=AF,AE=AE
∴△ADE≌△AEF,
∴DE=EF,
∵
∴
(2)證明:在△ABC外取一點(diǎn)F,使AF=AD,CF=BD,連接EF,作FG⊥BC,交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,
∵AB=AC,∠B=∠ACB=60°
∴△ABD≌△ACF,
∴∠BAD=∠CAF,AD=AF,∠ACF=∠B=60°,
∵∠DAE=∠BAC,
∴∠BAD+∠CAE=∠BAC,
∴∠EAF=∠CAF+∠CAE=∠BAC,
∴∠DAE=∠EAF,
∵AD=AF,AE=AE
∴△ADE≌△AEF,
∴DE=EF,
又∵∠ECF=60°+60°=120°,
∴∠FCG=60°,
∴CG=FC60°=,,
∴在Rt△EFG中,,
∴.
(3)點(diǎn)E線段BC上時(shí),如下圖所示,在△ABC外取一點(diǎn)F,使AF=AD,CF=BD,連接EF,
∴CF=BD=2CE
∵AB=AC,∠BAC=120°
∴△ABD≌△ACF, ∠B=∠ACB=30°
∴∠BAD=∠CAF,AD=AF,∠ACF=∠B=30°,
∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=60°
∵∠DAE=∠BAC,
∴∠BAD+∠CAE=∠BAC,
∴∠EAF=∠CAF+∠CAE=∠BAC,
∴∠DAE=∠EAF,
∵AD=AF,AE=AE
∴△ADE≌△AEF,
∴DE=EF,
過(guò)點(diǎn)F作FE′⊥BC于點(diǎn)E′
∴CE′=CF·cos∠ECF=2CE·=CE
∴點(diǎn)E′和點(diǎn)E重合
∴DE=EF=CE·tan∠ECF=
∵BD+DE+CE=BC=6
∴2CE++CE=6
解得:CE=;
若點(diǎn)E在BC延長(zhǎng)線上時(shí),如下圖所示,在△ABC外取一點(diǎn)F,使AF=AD,CF=BD,連接EF,過(guò)點(diǎn)E作EG⊥FC交FC的延長(zhǎng)線于G,設(shè)CE=x
∴CF=BD=2CE=2x
∵AB=AC,∠BAC=120°
∴△ABD≌△ACF, ∠B=∠ACB=30°
∴∠BAD=∠CAF,AD=AF,∠ACF=∠B=30°,
∴∠ECG=∠FCB=∠ACB+∠ACF=60°
∵∠DAE=∠BAC,
∴∠BAC-∠BAD+∠CAE=∠DAE=∠BAC,
∴∠BAD-∠CAE=∠BAC,
∴∠EAF=∠CAF-∠CAE=∠BAC,
∴∠DAE=∠EAF,
∵AD=AF,AE=AE
∴△ADE≌△AEF,
∴DE=EF,
在Rt△ECG中,CG=CE·cos∠ECG =x,EG= CE·sin∠ECG =x
∴FG=CF+CG=x
根據(jù)勾股定理:EF=
∴DE=EF=
∵BD+DE-CE=BC=6
∴2x+-x=6
解得:x=
即CE=
綜上:或.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)P是第二象限圖象上一動(dòng)點(diǎn),PM⊥x軸于點(diǎn)M,PN⊥y軸于點(diǎn)N,連接MN,在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,線段MN長(zhǎng)度的最小值是________.
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D為AB的中點(diǎn),以CD為直徑的⊙O分別交AC,BC于點(diǎn)E,F兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AB于點(diǎn)G.
(1)試判斷FG與⊙O的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由;
(2)若AC=6,CD=5,求FG的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在四邊形ABCD中,AB=AD,CB=CD,∠ABC=∠ADC=90°,∠BAD=α,∠BCD=β,點(diǎn)E,F是四邊形ABCD內(nèi)的兩個(gè)點(diǎn),滿足∠EAF=,∠ECF=,連接BE,EF,FD.
(1)如圖1,當(dāng)α=β時(shí),判斷∠ABE和∠ADF之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的猜想;
(2)當(dāng)α≠β時(shí),用等式表示線段BE,EF,FD之間的數(shù)量關(guān)系(直接寫出即可)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某中學(xué)現(xiàn)有的五個(gè)社團(tuán):.文學(xué),.辯論,.體育,.奧數(shù),.圍棋,為了選出“你最喜愛(ài)的社團(tuán)”,在部分同學(xué)中開(kāi)展了調(diào)查( 每名被調(diào)查的同學(xué)必須且只能選出一個(gè)社團(tuán)),并將調(diào)查結(jié)果進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖:
求本次被調(diào)查的人數(shù);
將上面兩幅統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
若該學(xué)校大約有學(xué)生人,請(qǐng)你估計(jì)喜歡體育社團(tuán)的人數(shù);
學(xué)校為社團(tuán)安排了號(hào)教室供社團(tuán)活動(dòng)使用,文學(xué)設(shè)社和辯論社使用的教室恰好相鄰的概率是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】四邊形是正方形,、分別是和的延長(zhǎng)線上的點(diǎn),且,連接、、.
(1)求證:;
(2)若,,求的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,等邊△A1C1C2的周長(zhǎng)為1,作C1D1⊥A1C2于D1,在C1C2的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)C3,使D1C3=D1C1,連接D1C3,以C2C3為邊作等邊△A2C2C3;作C2D2⊥A2C3于D2,在C2C3的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)C4,使D2C4=D2C2,連接D2C4,以C3C4為邊作等邊△A3C3C4;…且點(diǎn)A1,A2,A3,…都在直線C1C2同側(cè),如此下去,可得到△A1C1C2,△A2C2C3,△A3C3C4,…,△AnCnCn+1,則△AnCnCn+1的周長(zhǎng)為_______(n≥1,且n為整數(shù)).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為
A(6,0)、B(0,2),以AB為斜邊在右上方作Rt△ABC.設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為(x,y),則(x+y)的最大值為__.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)y=-x2+bx+C的圖象與坐標(biāo)軸交于A、B、C三點(diǎn),其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,8),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-4,0).
(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式及點(diǎn)C的坐標(biāo);
(2)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,4),點(diǎn)F為該二次函數(shù)在第一象限內(nèi)圖象上的動(dòng)點(diǎn),連接CD、CF,以CD、CF為鄰邊作平行四邊形CDEF,設(shè)平行四邊形CDEF的面積為S.
①求S的最大值;
②在點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,當(dāng)點(diǎn)E落在該二次函數(shù)圖象上時(shí),請(qǐng)直接寫出此時(shí)S的值.
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