Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AC與BD交于點E，點E是BD的中點，延長CD到點F，使DF＝CD，連接AF，

（1）求證：AE＝CE；

（2）求證：四邊形ABDF是平行四邊形；

（3）若AB＝2，AF＝4，∠F＝30°，則四邊形ABCF的面積為　 　．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）6

【解析】

（1）根據平行線的性質得出，根據全等三角形的判定得出，根據全等三角形的性質得出即可；

（2）根據平行四邊形的判定推出即可；

（3）求出高和，再根據面積公式求出即可．

解：（1）證明：∵點E是BD的中點，

∴BE＝DE，

∵AD∥BC，

∴∠ADE＝∠CBE，

在△ADE和△CBE中

∴△ADE≌△CBE（ASA），

∴AE＝CE；

（2）證明：∵AE＝CE，BE＝DE，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，AB＝CD，

∵DF＝CD，

∴DF＝AB，

即DF＝AB，DF∥AB，

∴四邊形ABDF是平行四邊形；

（3）解：過C作CH⊥BD于H，過D作DQ⊥AF于Q，

∵四邊形ABCD和四邊形ABDF是平行四邊形，AB＝2，AF＝4，∠F＝30°，

∴DF＝AB＝2，CD＝AB＝2，BD＝AF＝4，BD∥AF，

∴∠BDC＝∠F＝30°，

∴DQ＝DF＝＝1，CH＝DC＝＝1，

∴四邊形ABCF的面積S＝S平行四邊形BDFA+S△BDC＝AF×DQ+＝4×1+＝6，

故答案為：6．