Question

【題目】如圖，平面直角坐標(biāo)系中，正方形的頂點(diǎn)，，點(diǎn)為邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），連接，作線段的垂直平分線交邊于點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn)時(shí)，求線段的長(zhǎng)；

（2）如圖2，若正方形的周長(zhǎng)為，的周長(zhǎng)為，記，試證明為定值；

（3）在（2）的條件下，構(gòu)造過(guò)點(diǎn)C的拋物線同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件：

①；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為，求二次項(xiàng)系數(shù)的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）二次項(xiàng)系數(shù)的值為或．

【解析】

（1）設(shè)，根據(jù)勾股定理列方程可得的值，從而得DE，AE的值，證明△AED∽△BDM，利用相似三角形的性質(zhì)可得DM的長(zhǎng)； （2）正方形OABC的周長(zhǎng)為 ，設(shè)，表示，根據(jù)勾股定理建立之間的關(guān)系式，由（1）中的相似列比例式可表示BM ，DM ，計(jì)算△BMD的周長(zhǎng)為，代入可求得m的值； （3）先利用與已知條件得到與的關(guān)系，寫出拋物線的解析式，可得對(duì)稱軸，將（2）中的m代入：得到3≤x≤7時(shí)，y有最大值，按開口方向分情況討論可得結(jié)論．

解：（1）設(shè)，依題意有：，，，

在中，，解得．

∵ED⊥DM， ∴∠EDM=∠ADE+∠BDM=90°，

∵∠ADE+∠AED=90°， ∴∠AED=∠EDM，

∵∠DAE=∠MBD=90°，

∴，

∴，即，

∴，即線段的長(zhǎng)為．

（2）設(shè)，，則有，，

在中，，整理得：．

由可得：，

從而有：，可得，，

∴，

即，將代入，可得．

又∵，∴；∴為定值．

（3）∵拋物線經(jīng)過(guò)，∴，

由，可得，

∴，其對(duì)稱軸為．

由可知當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為，

于是有：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)有，此時(shí)；

當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)有，此時(shí)．

綜上所述，二次項(xiàng)系數(shù)的值為或．